Der Satz von Bayes ist ein mathematischer Satz, der die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf der bedingten Wahrscheinlichkeit anderer verwandter Ereignisse beschreibt. Der Satz wurde nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes benannt und spielt eine wichtige Rolle in der Statistik, Wahrscheinlichkeitstheorie und im maschinellen Lernen.

Bestimmen Sie beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, ein zweites Mal eine rote Kugel aus einem Beutel mit drei roten und drei schwarzen Kugeln zu ziehen, vorausgesetzt, die rote Kugel wurde beim ersten Mal gezogen und zurückgelegt. Außerdem hängen Ihre Chancen auf einen Parkplatz von der Tageszeit, dem Ort, an dem Sie parken, usw. ab.

Dies gibt uns eine ziemlich einfache Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Beispielsweise

Wenn es zwei Ereignisse A und B gibt und die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass beide auftreten, P(A) bzw. P(B) beträgt.

Dann wird die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, sofern auch Ereignis B eingetreten ist, mit P (A | B) bezeichnet.

Im Allgemeinen hilft Ihnen das Bayes-Theorem dabei, die tatsächliche Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf gegebenen Testinformationen zu ermitteln.

Hier unterscheiden sich die Ereignisse stark von den Tests. Wenn Sie beispielsweise einen Test auf eine Nierenerkrankung durchführen lassen, unterscheidet sich dieser von einem Fall einer Nierenerkrankung. Darüber hinaus können auch verschiedene Tests fehlerhaft sein. Wenn beispielsweise eine Person positiv getestet wird, bestätigt dies nicht, dass sie tatsächlich krank ist.

In seltenen Fällen kann es zu Tests mit hohen Falsch-Positiv-Raten kommen. In solchen Situationen prüft das Bayes-Theorem anhand der Testergebnisse die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, ob der Test das Ereignis korrekt identifiziert hat oder nicht. Lassen Sie uns in die Welt dieses Theorems eintauchen und verstehen, was es ist und wie es funktioniert.

Wie lautet die Formel für den Satz von Bayes?

Die Formel zur Ermittlung dieser bedingten Wahrscheinlichkeit wird, wie bereits erwähnt, durch den Satz von Bayes gegeben.

Satz von Bayes

  1. P(A) = Eintrittswahrscheinlichkeit von A
  2. P(B) = Eintrittswahrscheinlichkeit von B
  3. P(A?B) = Wahrscheinlichkeit, dass A gegeben B
  4. P(B? A) = Wahrscheinlichkeit von B bei gegebenem A
  5. P(A?B)) = Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B auftreten.

Der Satz von Bayes kann für bestimmte Zwecke auch in verschiedenen Formen ausgedrückt werden. Eine ziemlich beliebte Version ist die des Relevanzkoeffizienten oder Wahrscheinlichkeitsverhältnisses von Rudolph Carnap (Carnap 1962, 466).

Dies ist der Multiplikator PR(H,E) = PE(H)/P(H)

Diese spezielle Form des Satzes geht davon aus, dass die unbedingte Wahrscheinlichkeit von H multipliziert werden muss, um ihre von E abhängige Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Dies legt nahe, dass der Satz von Bayes wie ein einfaches Symmetrieprinzip für Wahrscheinlichkeitsverhältnisse ist

Wo kann man den Satz von Bayes anwenden?

Wie oben erwähnt, wird dieser Satz verwendet, um die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem anderen Ereignis zu bestimmen. Nehmen wir also zwei Ereignisse als Beispiel:

  • A = Regenwolken am Himmel
  • B = An diesem Tag regnet es

Dann können wir feststellen

  • P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass Regenwolken am Himmel sind = 0,2
  • P(B) = Wahrscheinlichkeit, dass es an einem Tag regnet = 0,6
  • P(A | B) = Wahrscheinlichkeit, dass Regenwolken am Himmel erscheinen, vorausgesetzt, dass es an diesem Tag geregnet hat = 0,9
  • P(B|A) = Regenwahrscheinlichkeit an einem Tag, an dem Wolken am Himmel waren

Die beiden oben genannten sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. Um eine davon zu berechnen, müssen Sie die andere und die individuellen Wahrscheinlichkeiten beider kennen. Anschließend können Sie den Satz anwenden, um die erforderliche bedingte Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

Um beispielsweise P(B|A) zu berechnen, benötigen Sie P(A|B), P(A) und P(B). Dann können Sie den Satz von Bayes wie folgt anwenden:

P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A)

= 0,9 · 0,6/0,2

= 0,27

Dies zeigt uns, dass die Regenwahrscheinlichkeit pro Tag bei Wolken am Himmel 0,27 beträgt. Satz von Bayes

Anwendungen. Satz von Bayes

Der Satz von Thomas Bayes kann auf eine Vielzahl von Problemen angewendet werden. Es kann verwendet werden, um die Genauigkeit eines Tests anhand eines anderen erforderlichen Satzes von Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Um die A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, ist eine A-Priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung erforderlich. Die A-priori-Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, bevor neue Daten erfasst werden. Andererseits ist Posterior die überarbeitete Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis neue Informationen erfährt.

Einfach ausgedrückt ist die A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A|B), also die Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B bereits vor dem Experiment passiert ist.

Seine Formel wird verwendet, um zu sehen, wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses durch bestimmte Einschränkungen und bereits eingetretene Ereignisse beeinflusst wird.

Benennung von Begriffen, die im Satz von Thomas Bayes verwendet werden

Die verschiedenen in diesem Theorem verwendeten Begriffe sind korrekt benannt. Hier sind die.

  • P(A|B) = Posterior-Wahrscheinlichkeit: Dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, die wir finden müssen.
  • P(A) = A-priori-Wahrscheinlichkeit: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, die wir vor dem Experiment hatten.
  • P(B|A) = Wahrscheinlichkeit
  • P(B) = Beweis

Daher können wir den Satz von Bayes wie folgt umformulieren:
A posteriori = Wahrscheinlichkeit * A priori / Beweis

Nenner/Satz von Bayes

В die Formel Mit dem Satz von Bayes können Sie sehen, dass der Nenner die Grenzwahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist. Dies wird auch als Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses bezeichnet, was bedeutet, dass es sich um die Wahrscheinlichkeit handelt, dass das Ereignis unter allen Umständen eintritt.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist oft unbekannt; Was bekannt ist, sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten dieses Ereignisses, vorbehaltlich verschiedener Einschränkungen.

  • Die Gesamtwahrscheinlichkeit kann dann mit der folgenden Formel ermittelt werden.

P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….

Wo

E1, E2, E3 sind Ereignisse, die in der Vergangenheit stattgefunden haben könnten.

Oder Sie können dies mithilfe von herausfinden

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | nicht B) * P (nicht B)

Wenn alle erforderlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt sind / Satz von Bayes

Zum Beispiel kann die

Aus einem Beutel mit drei schwarzen, drei roten und drei gelben Kugeln werden zwei Kugeln gezogen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, den roten Ball zum zweiten Mal aufzuheben, P (R) und kann wie folgt ermittelt werden:

  • P(R|R') = Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Ball rot wird, wenn der erste Ball schwarz oder gelb war
  • P(R|R) = Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Ball rot wird, wenn der erste Ball rot ist.

Dann ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der zweite Ball rot wird, gegeben durch

P(R) = P(R|R') + P(R|R)

Numerisch

P(R|R') =?

P(R | R) = ¼

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu bekommen, beträgt also:

P(R) =? + ¼ =?

Echte Beispiele für medizinische Tests. Satz von Bayes

Satz von Bayes

Hier geben wir Ihnen ein Beispiel dafür, wie das Bayes-Theorem auf reale Szenarien angewendet werden kann. Dieses Beispiel ist ein weit verbreitetes Anwendungsgebiet des Satzes.

Im Allgemeinen sind medizinische Tests zur Diagnose verschiedener Krankheiten nicht 100 % genau. Es kann vorkommen, dass eine Person an einer Krankheit leidet und der Test dennoch ein negatives Ergebnis zeigt. Oder es kann sein, dass die Person nicht an der Krankheit leidet, der Test aber ein positives Ergebnis zeigt. - Wenn Sie also positiv testen, herrscht Verwirrung über falsch-positive, falsch-negative oder richtig-positive Ergebnisse.

Ja, es klingt erschreckend, aber Tatsache ist, dass nichts 100 % perfekt ist, und diese Tests auch nicht!

Hier verfügen wir anhand von Daten zu einem hypothetischen HIV-Testgerät über die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten, die erforderlich sind, um die Genauigkeit des Geräts zu bestimmen.

Satz von Bayes

Wir wissen, dass das Testgerät manchmal ein falsches Ergebnis liefert, aber wir müssen herausfinden, ob die Anzahl solcher falschen Ergebnisse zu groß ist, um Zweifel an der Zuverlässigkeit des Tests aufkommen zu lassen? Hier erfahren wir also die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person positiv ist oder nicht.

Das Testgerät meldet 90 % der positiven Fälle korrekt, während die restlichen 10 % der positiven Fälle von ihm unentdeckt bleiben. Darüber hinaus kann er eine Person negativ beurteilen, wenn sie in 99 % der Fälle negativ ist. Aber 1 % der Menschen werden positiv getestet, auch wenn sie schädlich sind. Wir wissen auch, dass nur 0,1 % der Gesamtbevölkerung an dieser Krankheit leiden. Nun wird aus einer großen Bevölkerung eine Person zufällig ausgewählt und positiv getestet. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass eine Person HIV-infiziert ist. Satz von Bayes

Sei E das Ereignis, bei dem eine Person mit HIV infiziert wird. E' bedeutet also, dass er HIV-negativ ist.

Sei A das Ereignis, bei dem der Testbericht positiv ist.

Wir benötigen also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person bei einem positiven Testergebnis mit HIV infiziert ist. Das bedeutet, dass wir P(E|A) finden müssen.

Wir haben nun die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

1.P(E) = 0,1 % = 0,001 = Wahrscheinlichkeit einer HIV-Infektion

2. P(E') = 0,999 = Wahrscheinlichkeit, nicht an HIV zu erkranken

3. P(A | E) = 99 % = 0,99 = Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an HIV leidet, vorausgesetzt, dass ihre Berichte auch eine positive Diagnose ergeben.

4. P(A|E') = 1 % = 0,01 = Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht HIV hat, aber positiv getestet wird. Satz von Bayes

Daher gilt unter Verwendung des Satzes von Bayes:
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}

= 0,083 (ungefähr)

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person positiv auf HIV getestet wird, 0,083, also nur 8,3 %. Dies zeigt deutlich, dass der Test nicht akzeptabel ist und nicht mehr zur Diagnose der Krankheit verwendet werden sollte.

Diese Berechnung der Krankheitswahrscheinlichkeiten wird typischerweise durchgeführt, um die Eignung von Geräten zu bestimmen. Der Satz von Bayes spielt hier wirklich eine Schlüsselrolle. Dies ist jedoch nicht der einzige Bereich, in dem der Satz von Bayes verwendet wird.

Abschließende Gedanken! Satz von Bayes

Das Bayes-Theorem ist ein sehr verbreitetes Theorem, das beim maschinellen Lernen verwendet wird, um Vorhersagen auf der Grundlage zuvor verfügbarer Daten zu treffen. Es hilft auch dabei, Daten in verschiedene Kategorien zu klassifizieren, wiederum mithilfe von Techniken des maschinellen Lernens.

Nun, es wird nicht nur für anspruchsvolle wissenschaftliche Berechnungen verwendet. Es wird auch für verschiedene Studien verwendet. Haben Sie sich jemals gefragt, wie diese Dating-Sites Ihnen die am besten geeigneten Partner bieten?

Nun, sie verwenden das Bayes-Theorem, um Ihre Chancen zu ermitteln, mit dieser Person in Kontakt zu kommen, vorausgesetzt, sie kennt bereits die Eigenschaften, die Sie in der Vergangenheit bevorzugt haben!

 

FAQ. Satz von Bayes.

  1. Was ist der Satz von Bayes?

    • Das Bayes-Theorem ist ein mathematisches Prinzip, das die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf damit verbundenen Ereignissen beschreibt.
  2. Wie ist der Satz von Bayes formuliert?

    • Für zwei Ereignisse A und B wird die Formel des Satzes von Bayes wie folgt ausgedrückt: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), wobei P(A|B ) ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A abhängig von B.
  3. Was ist das Wesen der bedingten Wahrscheinlichkeit im Kontext des Bayes-Theorems?

    • Die bedingte Wahrscheinlichkeit spiegelt die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses wider, vorausgesetzt, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist oder bekannt ist.
  4. Wie wird der Satz von Bayes in der Statistik verwendet?

    • In der Statistik wird der Satz von Bayes verwendet, um die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese zu aktualisieren, wenn neue Daten oder zusätzliche Informationen verfügbar sind.
  5. Was sind Prior- und Posterior-Wahrscheinlichkeiten im Kontext des Bayes-Theorems?

    • Die A-priori-Wahrscheinlichkeit ist eine erste Schätzung der Wahrscheinlichkeit einer Hypothese, bevor neue Daten berücksichtigt werden. Die Posterior-Wahrscheinlichkeit ist die aktualisierte Wahrscheinlichkeit nach Berücksichtigung neuer Informationen.
  6. Wie wird das Bayes-Theorem beim maschinellen Lernen verwendet?

    • Beim maschinellen Lernen wird der Satz von Bayes in Bayes'schen Methoden wie der Bayes'schen Klassifikation verwendet. Dies hilft dem Modell, seine Ansichten basierend auf neuen Daten zu aktualisieren.
  7. Welche Bedeutung hat der Satz von Bayes für die Entscheidungsfindung?

    • Der Satz von Bayes ist ein wichtiges Instrument zur Entscheidungsfindung unter Bedingungen der Unsicherheit, wenn wir über einige Daten oder Informationen verfügen, aber keine vollständige Gewissheit haben.
  8. Können Sie ein Beispiel für die Anwendung des Bayes-Theorems im wirklichen Leben geben?

    • Beispielsweise in der medizinischen Diagnostik, wo ein Arzt anhand neuer Testergebnisse die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung eines Patienten aktualisieren kann.
  9. Wie unterscheidet sich der Satz von Bayes vom Satz der speziellen Wahrscheinlichkeit?

    • Der Satz von Bayes ist eine Form der bedingten Wahrscheinlichkeit, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem anderen Ereignis beschreibt, während der allgemeine Wahrscheinlichkeitssatz die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses beschreibt.
  10. Könnte es Situationen geben, in denen der Satz von Bayes nicht anwendbar ist?

    • Der Satz von Bayes kann in Fällen eingeschränkt sein, in denen die Daten unzureichend sind oder wenn Ereignisse stark von zusätzlichen Faktoren abhängen, die nicht im Modell enthalten sind.