Bayesi teoreem on matemaatiline teoreem, mis kirjeldab sündmuse tõenäosust teiste seotud sündmuste tingimusliku tõenäosuse alusel. Teoreem sai nime inglise matemaatiku Thomas Bayesi järgi ning sellel on oluline roll statistikas, tõenäosusarvutuses ja masinõppes.

Näiteks kolme punast ja kolme musta palli sisaldavast kotist punase palli teistkordse tõmbamise tõenäosuse määramine, arvestades, et punane pall tõmmati ja asendati esimesel korral. Samuti sõltub teie võimalus saada parkimiskoht kellaajast, parkimiskohast jne.

See annab meile tingimusliku tõenäosuse arvutamiseks üsna lihtsa valemi.

Näiteks

Kui on kaks sündmust A ja B ning nende mõlema toimumise kogutõenäosus on vastavalt P(A) ja P(B).

Siis tähistatakse sündmuse A toimumise tõenäosust, eeldusel, et toimus ka sündmus B, tähega P (A | B).

Üldiselt aitab Bayesi teoreem saada antud testiteabe põhjal sündmuse tegeliku tõenäosuse.

Siin on sündmused analüüsidest väga erinevad, näiteks kui lähete neeruhaiguse testi tegema, erineb see neeruhaiguse juhtumist. Lisaks võivad erinevad testid olla ka vigased, näiteks kui inimese proov on positiivne, siis see ei kinnita, et ta on päriselt haige.

Harvadel juhtudel võib esineda kõrge valepositiivsete testide juhtumeid. Sellistes olukordades võtab Bayesi teoreem testi tulemused ja kontrollib tegelikku tõenäosust, kas test tuvastas sündmuse täpselt või mitte. Süveneme selle teoreemi maailma ja mõistame, mis see on ja kuidas see toimib.

Mis on Bayesi teoreemi valem?

Selle tingimusliku tõenäosuse leidmiseks kasutatav valem on antud Bayesi teoreemiga, nagu juba mainitud.

Bayesi teoreem

  1. P(A) = A esinemise tõenäosus
  2. P(B) = B esinemise tõenäosus
  3. P(A?B) = tõenäosus, et A antud B
  4. P(B? A) = B tõenäosus antud A korral
  5. P(A?B)) = nii A kui ka B esinemise tõenäosus.

Bayesi teoreemi saab konkreetsetel eesmärkidel väljendada ka erinevates vormides. Üks üsna populaarne versioon on Rudolph Carnapi asjakohasuskordaja või tõenäosuse suhe (Carnap 1962, 466).

See on kordaja PR(H,E) = PE(H)/P(H)

See teoreemi erivorm eeldab, et H tingimusteta tõenäosust tuleb korrutada, et saada selle tõenäosus tingimusel E. See viitab sellele, et Bayesi teoreem on nagu tõenäosussuhete lihtne sümmeetriaprintsiip.

Kus kasutada Bayesi teoreemi?

Nagu eespool öeldud, kasutatakse seda teoreemi sündmuse tingimusliku tõenäosuse määramiseks mõne teise sündmuse korral. Nii et võtame näiteks kaks sündmust:

  • A = vihmapilved taevas
  • B = Sel päeval sajab vihma

Siis saame kindlaks teha

  • P(A) = tõenäosus, et taevas on vihmapilvi = 0,2
  • P(B) = tõenäosus, et päeval sajab = 0,6
  • P(A|B) = vihmapilvede taevasse ilmumise tõenäosus, arvestades, et sel päeval sadas = 0,9
  • P(B|A) = vihma tõenäosus päeval, mil taevas oli pilvi

Ülaltoodud kaks on tingimuslikud tõenäosused. Neist ühe arvutamiseks peate teadma teist ja mõlema individuaalseid tõenäosusi. Seejärel saate teoreemi rakendada nõutava tingimusliku tõenäosuse saamiseks.

Näiteks P(B|A) arvutamiseks vajate P(A|B), P(A) ja P(B). Seejärel saate rakendada Bayesi teoreemi järgmiselt:

P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A)

= 0,9 * 0,6 / 0,2

= 0,27

See näitab, et vihma tõenäosus ööpäevas, arvestades, et taevas oli pilvi, on 0,27. Bayesi teoreem

Rakendused. Bayesi teoreem

Thomas Bayesi teoreemi saab rakendada mitmesugustele probleemidele. Seda saab kasutada testi täpsuse määramiseks, arvestades teist nõutavat tõenäosuste kogumit.

Tagumise tõenäosuse määramiseks on vajalik eelnev tõenäosusjaotus. Eelnev tõenäosus on tõenäosus enne uute andmete kogumist. Teisest küljest on Posterior muudetud tõenäosus, et sündmus õpib uut teavet.

Lihtsamalt öeldes on tagumine tõenäosus P(A|B), mis on A tõenäosus, arvestades, et B on juba juhtunud enne katset.

Selle valemit kasutatakse selleks, et näha, kuidas sündmuse toimumise tõenäosust mõjutavad teatud piirangud ja sündmused, mis on juba toimunud.

Thomas Bayesi teoreemis kasutatud nimetamisterminid

Selles teoreemis kasutatud erinevad terminid on õigesti nimetatud. Siin on need.

  • P(A | B) = tagumine tõenäosus: see on tingimuslik tõenäosus, mille peame leidma.
  • P(A) = eelnev tõenäosus: see on tõenäosus, mis meil oli enne katset.
  • P(B|A) = tõenäosus
  • P(B) = tõend

Seega saame Bayesi teoreemi uuesti sõnastada kui
A posteriori = Tõenäosus * A priori / Tõend

Nimetaja/Bayesi teoreem

В valem Bayesi teoreemil on näha, et nimetaja on sündmuse piirtõenäosus. Seda nimetatakse ka sündmuse üldiseks tõenäosuseks, mis tähendab, et see on tõenäosus, et sündmus toimub igal juhul.

Sündmuse üldine tõenäosus on sageli teadmata; teadaolevad on selle sündmuse toimumise tingimuslikud tõenäosused, mis sõltuvad mitmesugustest piirangutest.

  • Üldise tõenäosuse saab seejärel määrata alloleva valemi abil.

P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….

kus

E1, E2, E3 on sündmused, mis võisid juhtuda minevikus.

Või saate selle välja selgitada kasutades

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | mitte B) * P (mitte B)

Kui kõik nõutavad tingimuslikud tõenäosused on teada / Bayesi teoreem

Näiteks

Kotist, milles on kolm musta, kolm punast ja kolm kollast palli, tõmmatakse kaks palli. Siis on punase palli teistkordse ülesvõtmise tõenäosus P (R) ja selle saab leida järgmiselt:

  • P(R|R') = tõenäosus, et teine ​​pall muutub punaseks, kui esimene pall oli must või kollane
  • P(R|R) = tõenäosus, et teine ​​kuul muutub punaseks, kui esimene pall on punane.

Seejärel antakse teise palli punaseks muutumise kogutõenäosus

P(R) = P(R|R') + P(R|R)

Numbriliselt

P(R|R') =?

P(R | R) = ¼

Seega on punase palli saamise kogutõenäosus:

P (R) =? + ¼ =?

Tõelised näited meditsiinilistest testidest. Bayesi teoreem

Bayesi teoreem

Siin anname teile näite selle kohta, kuidas Bayesi teoreemi saab rakendada reaalse elu stsenaariumide puhul. See näide on teoreemi laialt levinud rakendusala.

Üldjuhul ei ole meditsiinilised analüüsid erinevate haiguste diagnoosimiseks 100% täpsed. Võib juhtuda, et inimene põeb mõnda haigust, kuid test näitab siiski negatiivseid tulemusi. Või võib juhtuda, et inimene ei põe seda haigust, kuid test näitab positiivseid tulemusi. - Seega on positiivse testi korral segadus valepositiivsete, valenegatiivsete või tõeliselt positiivsete tulemustega.

Jah, see kõlab hirmutavalt, kuid tõsiasi on see, et miski pole 100% täiuslik ja ka need testid pole seda!

Siin, kasutades hüpoteetilise HIV-testimise seadmega seotud andmeid, on meil erinevad tõenäosused, mis on vajalikud seadme täpsuse määramiseks.

Bayesi teoreem

Teame, et testseade annab mõnikord vale tulemuse, kuid peame välja selgitama, kas selliste valede tulemuste hulk on liiga suur, et testi usaldusväärsuses kahtluse alla seada? Nii et siin saame teada tõenäosuse, et positiivse testiga inimene on positiivne või mitte.

Testimisseade teatab õigesti 90% positiivsetest juhtudest, samas kui ülejäänud 10% positiivsetest juhtudest jääb selle avastamata. Lisaks võib ta hinnata inimest negatiivselt, kui ta on 99% juhtudest negatiivne. Kuid 1% inimestest on positiivsed, isegi kui need on kahjulikud. Teame ka, et selle haiguse all kannatab vaid 0,1% kogu elanikkonnast. Nüüd valitakse inimene suurest populatsioonist juhuslikult ja tema testid on positiivsed. Peame leidma tõenäosuse, et inimene on HIV-nakkusega. Bayesi teoreem

Olgu E sündmus, kui inimene nakatub HIV-sse. Seega tähendab E', et ta on HIV-negatiivne.

Olgu A sündmus, kui testiaruanne on positiivne.

Seega eeldame positiivse testitulemuse korral inimese HIV-nakkuse tõenäosust. See tähendab, et peame leidma P(E|A).

Nüüd on meil järgmised tõenäosused.

1.P(E) = 0,1% = 0,001 = HIV-i nakatumise tõenäosus

2. P(E') = 0,999 = tõenäosus, et te ei põe HIV-i

3. P(A | E) = 99% = 0,99 = tõenäosus, et inimene põeb HIV-i, arvestades, et tema aruanded andsid talle ka positiivse diagnoosi.

4. P(A|E') = 1% = 0,01 = tõenäosus, et inimesel ei ole HIV-i, kuid tema test on positiivne. Bayesi teoreem

Seetõttu, kasutades Bayesi teoreemi,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}

= 0,083 (ligikaudu)

Seetõttu on tõenäosus, et juhuslikult valitud isik saab HIV-positiivseks, 0,083, mis on vaid 8,3%. See näitab selgelt, et test on vastuvõetamatu ja seda ei tohiks enam haiguse diagnoosimiseks kasutada.

Haiguse tõenäosuse arvutamine toimub tavaliselt seadmete sobivuse määramiseks. Bayesi teoreem mängib siin tõesti võtmerolli. Kuid see pole ainus valdkond, kus Bayesi teoreemi kasutatakse.

Viimased mõtted! Bayesi teoreem

Bayesi teoreem on väga levinud teoreem, mida kasutatakse masinõppes, et teha prognoose varem kättesaadavate andmete põhjal. Samuti aitab see klassifitseerida andmeid erinevatesse kategooriatesse, kasutades jällegi masinõppe tehnikaid.

Noh, seda ei kasutata ainult kõrgetasemeliste teaduslike arvutuste jaoks. Seda kasutatakse ka erinevate uuringute jaoks. Kas olete kunagi mõelnud, kuidas need tutvumissaidid pakuvad teile kõige sobivamaid vasteid?

Noh, nad kasutavad Bayesi teoreemi, et määrata kindlaks teie võimalused selle inimesega sobida, kuna nad juba teavad omadusi, mida olete varem eelistanud!

 

KKK. Bayesi teoreem.

  1. Mis on Bayesi teoreem?

    • Bayesi teoreem on matemaatiline printsiip, mis kirjeldab sündmuse tingimuslikku tõenäosust sellega seotud sündmuste põhjal.
  2. Kuidas on sõnastatud Bayesi teoreem?

    • Kahe sündmuse A ja B korral väljendatakse Bayesi teoreemi valem järgmiselt: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), kus P(A|B) ) on B-le alluva sündmuse A tõenäosus.
  3. Mis on tingimusliku tõenäosuse olemus Bayesi teoreemi kontekstis?

    • Tingimuslik tõenäosus peegeldab sündmuse toimumise tõenäosust, kui mõni muu sündmus on juba toimunud või teada.
  4. Kuidas kasutatakse Bayesi teoreemi statistikas?

    • Statistikas kasutatakse Bayesi teoreemi hüpoteesi tõenäosuse värskendamiseks, kui on saadaval uued andmed või lisainformatsioon.
  5. Mis on eel- ja tagatõenäosused Bayesi teoreemi kontekstis?

    • Eelnev tõenäosus on hüpoteesi tõenäosuse esialgne hinnang enne uute andmete arvessevõtmist. Tagumine tõenäosus on uuendatud tõenäosus pärast uue teabe arvessevõtmist.
  6. Kuidas kasutatakse masinõppes Bayesi teoreemi?

    • Masinõppes kasutatakse Bayesi teoreemi Bayesi meetodites, näiteks Bayesi klassifikatsioonis. See aitab mudelil oma vaateid uute andmete põhjal värskendada.
  7. Mis tähtsus on Bayesi teoreemil otsuste tegemisel?

    • Bayesi teoreem on võtmetööriist otsuste tegemiseks määramatuse tingimustes, kui meil on mõned andmed või teave, kuid mitte täielik kindlus.
  8. Kas saate tuua näite Bayesi teoreemi kasutamisest päriselus?

    • Näiteks meditsiinidiagnostikas, kus arst saab uute analüüsitulemustega uuendada patsiendi haigestumise tõenäosust.
  9. Mille poolest erineb Bayesi teoreem eritõenäosuste teoreemist?

    • Bayesi teoreem on tingimusliku tõenäosuse vorm, mis kirjeldab sündmuse tõenäosust teise sündmuse korral, samas kui üldine tõenäosusteoreem kirjeldab suvalise sündmuse tõenäosust.
  10. Kas võib olla olukordi, kus Bayesi teoreem ei kehti?

    • Bayesi teoreem võib olla piiratud juhtudel, kui andmed on ebapiisavad või kui sündmused sõltuvad suurel määral lisateguritest, mida mudelis ei ole.