Théorème de Bayes - Définition, formules et applications

Le théorème de Bayes est un théorème mathématique qui décrit la probabilité d'un événement en fonction de la probabilité conditionnelle d'autres événements connexes. Le théorème doit son nom au mathématicien anglais Thomas Bayes et joue un rôle important dans les statistiques, les probabilités et l'apprentissage automatique.

Par exemple, déterminer la probabilité de tirer une deuxième fois une boule rouge à partir d’un sac contenant trois boules rouges et trois boules noires, étant donné que la boule rouge a été tirée et replacée la première fois. De plus, vos chances d’obtenir une place de stationnement dépendent de l’heure de la journée, de l’endroit où vous vous garez, etc.

Cela nous donne une formule assez simple pour calculer la probabilité conditionnelle.

Par exemple

S'il y a deux événements A et B et que la probabilité totale qu'ils se produisent tous les deux est respectivement P(A) et P(B).

Alors la probabilité d'occurrence de l'événement A, à condition que l'événement B se soit également produit, est notée P (A | B).

En général, le théorème de Bayes vous aide à obtenir la probabilité réelle d'un événement sur la base d'informations de test données.

Ici, les événements sont très différents des tests, par exemple lorsque vous allez passer un test pour une maladie rénale, ce sera différent d'un cas de maladie rénale. En outre, différents tests peuvent également être erronés. Par exemple, si une personne est testée positive, cela ne confirme pas qu'elle est réellement malade.

Il peut y avoir de rares cas de tests présentant des taux de faux positifs élevés. Dans de telles situations, le théorème de Bayes prend les résultats du test et vérifie la probabilité réelle que le test ait identifié l'événement avec précision ou non. Plongeons dans le monde de ce théorème et comprenons ce que c'est et comment il fonctionne.

Quelle est la formule du théorème de Bayes ?

La formule utilisée pour trouver cette probabilité conditionnelle est donnée par le théorème de Bayes, comme déjà mentionné.

1. P(A) = probabilité d'occurrence de A
2. P(B) = probabilité d'occurrence de B
3. P(A?B) = probabilité que A étant donné B
4. P(B? A) = probabilité de B étant donné A
5. P(A?B)) = probabilité que A et B se produisent.

Le théorème de Bayes peut également être exprimé sous différentes formes à des fins spécifiques. Une version assez populaire est celle du coefficient de pertinence ou rapport de probabilité de Rudolph Carnap (Carnap 1962 : 466).

C'est le multiplicateur PR(H,E) = PE(H)/P(H)

Cette forme spéciale du théorème suppose que la probabilité inconditionnelle de H doit être multipliée pour obtenir sa probabilité conditionnelle à E. Cela suggère que le théorème de Bayes est comme un simple principe de symétrie pour les rapports de probabilité.

Où utiliser le théorème de Bayes ?

Comme indiqué ci-dessus, ce théorème est utilisé pour déterminer la probabilité conditionnelle d’un événement étant donné un autre événement. Prenons donc deux événements comme exemple :

• A = nuages ​​pluvieux dans le ciel
• B = Il pleut ce jour-là

On peut alors déterminer

• P(A) = probabilité qu'il y ait des nuages ​​pluvieux dans le ciel = 0,2
• P(B) = probabilité qu'il pleuve un jour = 0,6
• P(A|B) = probabilité que des nuages ​​de pluie apparaissent dans le ciel étant donné qu'il a plu ce jour-là = 0,9
• P(B|A) = probabilité de pluie un jour où il y avait des nuages ​​dans le ciel

Les deux ci-dessus sont des probabilités conditionnelles. Pour calculer l’un d’eux, vous devez connaître l’autre ainsi que leurs probabilités individuelles. Vous pouvez ensuite appliquer le théorème pour obtenir la probabilité conditionnelle requise.

Par exemple, pour calculer P(B|A), vous avez besoin de P(A|B), P(A) et P(B). Ensuite, vous pouvez appliquer le théorème de Bayes comme ceci :

P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A)

= 0,9 * 0,6/0,2

= 0,27

Cela nous montre que la probabilité qu'il pleuve par jour, étant donné qu'il y avait des nuages ​​dans le ciel, est de 0,27. Théorème de Bayes

Applications. Théorème de Bayes

Le théorème de Thomas Bayes peut être appliqué à divers problèmes. Il peut être utilisé pour déterminer l’exactitude d’un test compte tenu d’un autre ensemble de probabilités requis.

Pour déterminer la probabilité a posteriori, une distribution de probabilité préalable est nécessaire. La probabilité a priori est la probabilité avant que de nouvelles données ne soient collectées. D'un autre côté, Postérieur est la probabilité révisée qu'un événement apprend de nouvelles informations.

En termes simples, la probabilité a posteriori est P(A|B), qui est la probabilité de A étant donné que B s'est déjà produit avant l'expérience.

Sa formule est utilisée pour voir comment la probabilité qu'un événement se produise est affectée par certaines contraintes et événements déjà survenus.

Nommer les termes utilisés dans le théorème de Thomas Bayes

Les différents termes utilisés dans ce théorème sont correctement nommés. Voici ceux-là.

• P(A|B) = Probabilité postérieure : C'est la probabilité conditionnelle que nous devons trouver.
• P(A) = Probabilité préalable : C'est la probabilité que nous avions avant l'expérience.
• P(B|A) = Probabilité
• P(B) = Preuve

Ainsi, nous pouvons reformuler le théorème de Bayes comme
A posteriori = Probabilité * A priori / Preuve

Théorème du dénominateur/Bayes

В la formule Avec le théorème de Bayes, vous pouvez voir que le dénominateur est la probabilité marginale d'un événement. C'est ce qu'on appelle également la probabilité globale d'un événement, ce qui signifie qu'il s'agit de la probabilité que l'événement se produise quelles que soient les circonstances.

La probabilité globale d’un événement est souvent inconnue ; ce que l'on sait, ce sont les probabilités conditionnelles que cet événement se produise, sous réserve de diverses contraintes.

• La probabilité globale peut alors être déterminée à l’aide de la formule ci-dessous.

P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….

Où

E1, E2, E3 sont des événements qui auraient pu se produire dans le passé.

Ou vous pouvez le découvrir en utilisant

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | pas B) * P (pas B)

Si toutes les probabilités conditionnelles requises sont connues / Théorème de Bayes

Par exemple,

Deux boules sont tirées d'un sac contenant trois boules noires, trois rouges et trois jaunes. Alors la probabilité de ramasser la boule rouge pour la deuxième fois sera P (R), et elle peut être trouvée en procédant comme suit :

• P(R|R') = probabilité que la deuxième boule devienne rouge si la première boule était noire ou jaune
• P(R|R) = probabilité que la deuxième boule devienne rouge si la première boule est rouge.

Alors la probabilité totale que la deuxième boule devienne rouge est donnée par

P(R) = P(R|R') + P(R|R)

Numériquement

P(R|R') =?

P(R | R) = ¼

Ainsi, la probabilité totale d’obtenir une boule rouge est :

P(R) =? + ¼ = ?

Exemples réels de tests médicaux. Théorème de Bayes

Nous vous donnons ici un exemple de la façon dont le théorème de Bayes peut être appliqué à des scénarios réels. Cet exemple est un domaine d'application répandu du théorème.

En général, les tests médicaux permettant de diagnostiquer diverses maladies ne sont pas précis à 100 %. Il peut arriver qu’une personne souffre d’une maladie et que le test donne des résultats négatifs. Il se peut également que la personne ne souffre pas de la maladie, mais que le test donne des résultats positifs. - Il y a donc une confusion autour des faux positifs, des faux négatifs ou des vrais positifs lorsque vous testez positif.

Oui, cela semble terrifiant, mais le fait est que rien n’est parfait à 100 %, et ces tests non plus !

Ici, en utilisant les données liées à un hypothétique dispositif de dépistage du VIH, nous disposons des diverses probabilités nécessaires pour déterminer l’exactitude du dispositif.

Théorème de Bayes

On sait que l'appareil de test donne parfois un résultat incorrect, mais il faut savoir si le nombre de ces résultats incorrects est trop important pour mettre en doute la fiabilité du test ? Nous découvrirons donc ici la probabilité qu’une personne dont le test est positif soit positive ou non.

Le dispositif de test signale correctement 90 % des cas positifs, tandis que les 10 % restants ne sont pas détectés. De plus, il peut juger négativement une personne si elle est négative 99 % du temps. Mais 1% des personnes sont testées positives même si elles sont nocives. Nous savons également que seulement 0,1 % de la population totale souffre de cette maladie. Désormais, une personne est sélectionnée au hasard parmi une large population et est testée positive. Nous devons déterminer la probabilité qu'une personne soit infectée par le VIH. Théorème de Bayes

Soit E l'événement au cours duquel une personne devient infectée par le VIH. Donc E' signifie qu'il est séronégatif.

Soit A l'événement où le rapport de test est positif.

Ainsi, nous avons besoin de la probabilité qu'une personne soit infectée par le VIH étant donné qu'elle reçoit un résultat de test positif. Cela signifie que nous devons trouver P(E|A).

Nous avons maintenant les probabilités suivantes.

1.P(E) = 0,1 % = 0,001 = probabilité de contracter le VIH

2. P(E') = 0,999 = probabilité de ne pas souffrir du VIH

3. P(A | E) = 99% = 0,99 = probabilité qu'une personne souffre du VIH, étant donné que ses rapports lui ont également donné un diagnostic positif.

4. P(A|E') = 1 % = 0,01 = probabilité qu'une personne ne soit pas porteuse du VIH mais déclare avoir été testée positive. Théorème de Bayes

Par conséquent, en utilisant le théorème de Bayes,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}

= 0,083 (environ)

Par conséquent, la probabilité qu'une personne sélectionnée au hasard soit testée positive au VIH est de 0,083, soit seulement 8,3 %. Cela montre clairement que le test est inacceptable et ne doit plus être utilisé pour diagnostiquer la maladie.

Ce calcul des probabilités de maladie est généralement effectué pour déterminer l’adéquation des dispositifs. Le théorème de Bayes joue ici un rôle clé. Mais ce n’est pas le seul domaine dans lequel le théorème de Bayes est utilisé.

Dernières pensées! Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes est un théorème très couramment utilisé en apprentissage automatique pour faire des prédictions basées sur des données précédemment disponibles. Il permet également de classer les données en différentes catégories, toujours en utilisant des techniques d'apprentissage automatique.

Eh bien, ce n'est pas seulement utilisé pour des calculs scientifiques de haut niveau. Il est également utilisé pour certaines études différentes. Vous êtes-vous déjà demandé comment ces sites de rencontres vous proposent les rencontres les plus adaptées ?

Eh bien, ils utilisent le théorème de Bayes pour déterminer vos chances de correspondre à cette personne, étant donné qu'ils connaissent déjà les qualités que vous avez préférées dans le passé !

 

FAQ. Théorème de Bayes.

1. Qu'est-ce que le théorème de Bayes ?

   • Le théorème de Bayes est un principe mathématique qui décrit la probabilité conditionnelle d'un événement en fonction des événements qui lui sont associés.

2. Comment le théorème de Bayes est-il formulé ?

   • Pour deux événements A et B, la formule du théorème de Bayes s'exprime comme suit : P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), où P(A|B ) est la probabilité de l'événement A soumis à B.

3. Quelle est l'essence de la probabilité conditionnelle dans le contexte du théorème de Bayes ?

   • La probabilité conditionnelle reflète la probabilité qu'un événement se produise étant donné qu'un autre événement s'est déjà produit ou est connu.

4. Comment le théorème de Bayes est-il utilisé en statistique ?

   • En statistique, le théorème de Bayes est utilisé pour mettre à jour la probabilité d'une hypothèse lorsque de nouvelles données ou informations supplémentaires sont disponibles.

5. Que sont les probabilités a priori et postérieures dans le contexte du théorème de Bayes ?

   • La probabilité préalable est une estimation initiale de la probabilité d'une hypothèse avant de prendre en compte de nouvelles données. La probabilité postérieure est la probabilité mise à jour après prise en compte de nouvelles informations.

6. Comment le théorème de Bayes est-il utilisé dans l'apprentissage automatique ?

   • En apprentissage automatique, le théorème de Bayes est utilisé dans les méthodes bayésiennes telles que la classification bayésienne. Cela aide le modèle à mettre à jour ses vues en fonction de nouvelles données.

7. Quelle est l’importance du théorème de Bayes dans la prise de décision ?

   • Le théorème de Bayes est un outil clé pour prendre des décisions dans des conditions d'incertitude, lorsque nous disposons de certaines données ou informations, mais pas d'une certitude totale.

8. Pouvez-vous donner un exemple d'utilisation du théorème de Bayes dans la vie réelle ?

   • Par exemple, dans le domaine du diagnostic médical, un médecin peut mettre à jour la probabilité qu'un patient soit atteint d'une maladie en fonction des nouveaux résultats de tests.

9. En quoi le théorème de Bayes diffère-t-il du théorème de probabilité spéciale ?

   • Le théorème de Bayes est une forme de probabilité conditionnelle qui décrit la probabilité d'un événement étant donné un autre événement, tandis que le théorème de probabilité générale décrit la probabilité d'un événement arbitraire.

10. Pourrait-il y avoir des situations dans lesquelles le théorème de Bayes ne s'applique pas ?

    • Le théorème de Bayes peut être limité dans les cas où les données sont insuffisantes ou lorsque les événements dépendent fortement de facteurs supplémentaires qui ne sont pas inclus dans le modèle.