Bayes tétele egy matematikai tétel, amely egy esemény valószínűségét írja le más kapcsolódó események feltételes valószínűsége alapján. A tétel Thomas Bayes angol matematikusról kapta a nevét, és fontos szerepet játszik a statisztikákban, a valószínűségszámításban és a gépi tanulásban.
Például annak a valószínűségének meghatározása, hogy egy három piros és három fekete golyót tartalmazó zacskóból másodszor is piros golyót húzzunk, tekintettel arra, hogy a piros golyót először húzták ki és cserélték ki. Emellett a parkolóhely megszerzésének esélye függ a napszaktól, a parkolás helyétől stb.
Ez egy meglehetősen egyszerű képletet ad a feltételes valószínűség kiszámításához.
Például
Ha két A és B esemény van, és mindkettő bekövetkezésének teljes valószínűsége P(A), illetve P(B).
Ekkor az A esemény bekövetkezésének valószínűségét, feltéve, hogy B esemény is megtörtént, P-vel jelöljük (A | B).
Általában a Bayes-tétel segít meghatározni egy esemény valós valószínűségét az adott tesztinformáció alapján.
Itt az események nagyon eltérnek a vizsgálatoktól, például amikor Ön vesebetegség vizsgálatára megy, az eltér a vesebetegség esetétől. Ráadásul a különböző tesztek is hibásak lehetnek, például ha valakinek pozitív a tesztje, az nem erősíti meg, hogy valóban beteg.
Előfordulhatnak olyan ritka esetek, amikor a tesztek magas hamis pozitív arányt mutatnak. Ilyen helyzetekben Bayes tétele átveszi a teszteredményeket, és ellenőrzi annak valós valószínűségét, hogy a teszt pontosan azonosította-e az eseményt vagy sem. Vágjunk bele ennek a tételnek a világába, és értsük meg, mi ez és hogyan működik.
Mi a Bayes-tétel képlete?
Ennek a feltételes valószínűségnek a meghatározásához használt képletet Bayes tétele adja meg, mint már említettük.
- P(A) = A előfordulási valószínűsége
- P(B) = B előfordulási valószínűsége
- P(A?B) = annak a valószínűsége, hogy A adott B
- P(B? A) = B valószínűsége adott A
- P(A?B)) = A és B előfordulásának valószínűsége.
Bayes tétele meghatározott célokra különböző formában is kifejezhető. Az egyik meglehetősen népszerű változat a Rudolph Carnap-féle relevancia-együttható vagy valószínűségi arány (Carnap 1962, 466).
Ez a PR(H,E) = PE(H)/P(H) szorzó.
A tétel ezen speciális formája feltételezi, hogy H feltétlen valószínűségét meg kell szorozni, hogy megkapjuk az E-től függő valószínűségét. Ez arra utal, hogy Bayes tétele olyan, mint egy egyszerű szimmetriaelv a valószínűségi arányokhoz
Hol használjuk Bayes-tételt?
Amint fentebb említettük, ezt a tételt egy másik esemény feltételes valószínűségének meghatározására használjuk. Vegyünk tehát példaként két eseményt:
- A = esős felhők az égen
- B = Aznap esik az eső
Aztán meg tudjuk határozni
- P(A) = annak valószínűsége, hogy esős felhők vannak az égen = 0,2
- P(B) = annak valószínűsége, hogy egy napon esik az eső = 0,6
- P(A|B) = esőfelhők megjelenésének valószínűsége az égen, ha aznap esett az eső = 0,9
- P(B|A) = eső valószínűsége azon a napon, amikor felhők voltak az égen
A fenti kettő feltételes valószínűség. Az egyik kiszámításához ismernie kell a másikat és mindkettő egyéni valószínűségét. Ezután alkalmazhatja a tételt, hogy megkapja a szükséges feltételes valószínűséget.
Például a P(B|A) kiszámításához P(A|B), P(A) és P(B) szükséges. Ezután a következőképpen alkalmazhatja Bayes tételét:
P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A) = 0,9 * 0,6 / 0,2 = 0,27
Ez azt mutatja, hogy a napi eső valószínűsége, tekintettel arra, hogy felhők voltak az égen, 0,27. Bayes tétele
Alkalmazások. Bayes tétele
Thomas Bayes tétele számos problémára alkalmazható. Használható egy teszt pontosságának meghatározására egy másik szükséges valószínűségi halmaz mellett.
A posterior valószínűség meghatározásához előzetes valószínűségi eloszlás szükséges. Az előzetes valószínűség az új adatok gyűjtése előtti valószínűség. Másrészt a Posterior annak a felülvizsgált valószínűsége, hogy egy esemény új információkat tanul meg.
Egyszerűen fogalmazva, a posterior valószínűség P(A|B), ami A valószínűsége, feltéve, hogy B már megtörtént a kísérlet előtt.
Képletét arra használjuk, hogy megnézzük, hogyan befolyásolják egy esemény bekövetkezésének valószínűségét bizonyos kényszerek és események, amelyek már megtörténtek.
Thomas Bayes tételében használt elnevezési kifejezések
Az ebben a tételben használt különféle kifejezéseket helyesen nevezzük el. Itt vannak azok.
- P(A|B) = Utólagos valószínűség: Ezt a feltételes valószínűséget kell megtalálnunk.
- P(A) = Előzetes valószínűség: Ez a kísérlet előtti valószínűség.
- P(B|A) = Valószínűség
- P(B) = Bizonyíték
Így újra megfogalmazhatjuk Bayes tételét, mint
A posteriori = Valószínűség * A priori / Bizonyíték
Nevező/Bayes-tétel
В képlet Bayes tétele láthatja, hogy a nevező egy esemény határvalószínűsége. Ezt egy esemény teljes valószínűségének is nevezik, ami azt jelenti, hogy az esemény bármilyen körülmények között bekövetkezik.
Egy esemény általános valószínűsége gyakran ismeretlen; ismertek az adott esemény bekövetkezésének feltételes valószínűségei, különféle megkötések függvényében.
- A teljes valószínűség ezután az alábbi képlettel határozható meg.
P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….
ahol
Az E1, E2, E3 olyan események, amelyek a múltban megtörténhettek.
Vagy ezt megtudhatja a segítségével
P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | nem B) * P (nem B)
Ha minden szükséges feltételes valószínűség ismert / Bayes-tétel
Például
Három fekete, három piros és három sárga golyót tartalmazó zacskóból két golyót húznak. Ekkor annak a valószínűsége, hogy a piros golyót másodszor is felveszi, P (R) lesz, és a következőképpen találhatja meg:
- P(R|R') = annak valószínűsége, hogy a második labda pirosra vált, ha az első labda fekete vagy sárga volt
- P(R|R) = annak valószínűsége, hogy a második golyó pirosra vált, ha az első golyó piros.
Ekkor a teljes valószínűsége annak, hogy a második golyó pirosra vált
P(R) = P(R|R') + P(R|R)
Számszerűen
P(R|R') =?
P(R | R) = ¼
Tehát a piros labda megszerzésének teljes valószínűsége:
P (R) =? + ¼ =?
Valódi példák az orvosi vizsgálatokra. Bayes tétele
Itt mutatunk egy példát arra, hogyan lehet Bayes-tételt alkalmazni valós forgatókönyvekre. Ez a példa a tétel széles körben elterjedt alkalmazási területe.
Általában a különböző betegségek diagnosztizálására szolgáló orvosi vizsgálatok nem 100%-os pontosságúak. Előfordulhat, hogy egy személy valamilyen betegségben szenved, és a teszt mégis negatív eredményt mutat. Vagy az is lehet, hogy az illető nem szenved a betegségben, de a teszt pozitív eredményt mutat. - Tehát félreértés van a hamis pozitív, hamis negatív vagy valódi pozitív eredmények körül, amikor pozitív tesztet végez.
Igen, ijesztően hangzik, de tény, hogy semmi sem 100%-ig tökéletes, és ezek a tesztek sem azok!
Itt egy hipotetikus HIV-tesztelő eszközhöz kapcsolódó adatok felhasználásával rendelkezünk az eszköz pontosságának meghatározásához szükséges különböző valószínűségekkel.
Bayes tétele
Tudjuk, hogy a tesztkészülék néha hibás eredményt ad, de ki kell derítenünk, hogy nem túl nagy-e az ilyen hibás eredmények száma ahhoz, hogy kétségbe vonjuk a teszt megbízhatóságát? Tehát itt megtudjuk, mekkora a valószínűsége annak, hogy egy személy, akinek pozitív a tesztje, pozitív-e vagy sem.
A tesztkészülék a pozitív esetek 90%-át helyesen jelzi, míg a pozitív esetek fennmaradó 10%-át nem észleli. Ezenkívül negatívan ítélhet meg egy személyt, ha az esetek 99%-ában negatív. De az emberek 1%-a pozitív, még akkor is, ha káros. Azt is tudjuk, hogy a teljes lakosság mindössze 0,1%-a szenved ebben a betegségben. Most véletlenszerűen választanak ki egy személyt egy nagy populációból, és a teszt pozitív. Meg kell találnunk annak valószínűségét, hogy egy személy HIV-fertőzött lesz. Bayes tétele
Legyen E az az esemény, amikor egy személy megfertőződik HIV-vel. Tehát E' azt jelenti, hogy HIV negatív.
Legyen A az az esemény, amikor a tesztjelentés pozitív.
Ezért megköveteljük annak valószínűségét, hogy egy személy HIV-fertőzött, amennyiben pozitív teszteredményt kap. Ez azt jelenti, hogy meg kell találnunk a P(E|A) értéket.
Most a következő valószínűségekkel rendelkezünk.
1.P(E) = 0,1% = 0,001 = a HIV-fertőzés valószínűsége
2. P(E') = 0,999 = annak valószínűsége, hogy nem szenved HIV-fertőzésben
3. P(A | E) = 99% = 0,99 = annak valószínűsége, hogy egy személy HIV-fertőzött, tekintve, hogy a jelentései is pozitív diagnózist adtak neki.
4. P(A|E') = 1% = 0,01 = annak valószínűsége, hogy egy személy nem HIV-fertőzött, de pozitív tesztet jelez. Bayes tétele
Ezért Bayes tételét használva,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}
= 0,083 (kb.)
Ezért annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott személy HIV-pozitív lesz, 0,083, ami csak 8,3%. Ez egyértelműen azt mutatja, hogy a teszt elfogadhatatlan, és a továbbiakban nem használható a betegség diagnosztizálására.
A betegség valószínűségének ezt a számítását általában az eszközök alkalmasságának meghatározására végzik. Bayes tétele valóban kulcsszerepet játszik itt. De nem ez az egyetlen terület, ahol Bayes tételét használják.
Végső gondolatok! Bayes tétele
A Bayes-tétel egy nagyon elterjedt tétel, amelyet a gépi tanulásban használnak, hogy előrejelzéseket készítsenek a korábban elérhető adatok alapján. Segít az adatok különböző kategóriákba sorolásában is, ismét gépi tanulási technikák használatával.
Nos, nem csak magas szintű tudományos számításokhoz használják. Különféle tanulmányokhoz is használják. Gondolkoztál már azon, hogy ezek a társkereső oldalak hogyan biztosítják számodra a legmegfelelőbb párosítást?
Nos, a Bayes-tételt használják annak meghatározására, hogy mekkora esélye van arra, hogy megfeleljen az adott személynek, mivel ők már ismerik azokat a tulajdonságokat, amelyeket korábban előnyben részesített!
GYIK. Bayes tétele.
Mi a Bayes-tétel?
A Bayes-tétel egy matematikai elv, amely leírja egy esemény feltételes valószínűségét a hozzá kapcsolódó események alapján.
Hogyan fogalmazódik meg Bayes tétele?
Két A és B esemény esetén a Bayes-tétel képlete a következőképpen fejeződik ki: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), ahol P(A|B) ) az A esemény valószínűsége, amely a B hatálya alá tartozik.
Mi a feltételes valószínűség lényege Bayes tételével összefüggésben?
A feltételes valószínűség egy esemény bekövetkezésének valószínűségét tükrözi, feltéve, hogy egy másik esemény már megtörtént vagy ismert.
Hogyan használják a Bayes-tételt a statisztikákban?
A statisztikában a Bayes-tételt használják a hipotézis valószínűségének frissítésére, amikor új adatok vagy további információk állnak rendelkezésre.
Mik a priori és utólagos valószínűségek a Bayes-tétel kontextusában?
Az előzetes valószínűség egy hipotézis valószínűségének kezdeti becslése az új adatok figyelembevétele előtt. Utólagos valószínűség az új információk figyelembevétele után frissített valószínűség.
Hogyan használják a Bayes-tételt a gépi tanulásban?
A gépi tanulásban a Bayes-tételt használják a Bayes-féle módszerekben, például a Bayes-féle osztályozásban. Ez segít a modellnek az új adatok alapján frissíteni a nézeteit.
Mi a jelentősége a Bayes-tételnek a döntéshozatalban?
Bayes tétele kulcsfontosságú eszköz a döntéshozatalhoz bizonytalanság körülményei között, amikor rendelkezünk bizonyos adatokkal vagy információkkal, de nem teljes bizonyossággal.
Tudnál példát mondani Bayes-tétel használatára a való életben?
Például az orvosi diagnosztikában, ahol az orvos új vizsgálati eredmények alapján frissítheti a páciens betegségének valószínűségét.
Miben tér el Bayes tétele a speciális valószínűségi tételtől?
A Bayes-tétel a feltételes valószínűség egy formája, amely egy másik esemény valószínűségét írja le, míg az általános valószínűségi tétel egy tetszőleges esemény valószínűségét írja le.
Lehetnek-e olyan helyzetek, amikor a Bayes-tétel nem érvényesül?
Bayes tétele korlátozott lehet olyan esetekben, amikor az adatok nem elegendőek, vagy ha az események nagymértékben függenek a modellben nem szereplő további tényezőktől.
Szólj hozzá!