Bayes teorēma ir matemātiska teorēma, kas apraksta notikuma varbūtību, pamatojoties uz citu saistītu notikumu nosacīto varbūtību. Teorēma tika nosaukta angļu matemātiķa Tomasa Beiza vārdā, un tai ir svarīga loma statistikā, varbūtību aprēķināšanā un mašīnmācībā.
Piemēram, noteikt varbūtību otrreiz izvilkt sarkanu bumbiņu no maisa, kurā ir trīs sarkanas un trīs melnas bumbiņas, ņemot vērā, ka sarkanā bumbiņa tika izvilkta un nomainīta pirmo reizi. Turklāt jūsu iespējas iegūt autostāvvietu ir atkarīgas no diennakts laika, vietas, kur novietojat automašīnu utt.
Tas dod mums diezgan vienkāršu formulu nosacītās varbūtības aprēķināšanai.
Piemēram
Ja ir divi notikumi A un B, un kopējā varbūtība, ka tie notiks, ir attiecīgi P(A) un P(B).
Tad notikuma A iestāšanās varbūtību, ja ir noticis arī notikums B, apzīmē ar P (A | B).
Kopumā Bayes teorēma palīdz iegūt reālo notikuma iespējamību, pamatojoties uz doto testa informāciju.
Šeit notikumi ļoti atšķiras no pārbaudēm, piemēram, kad dodaties uz nieru slimības pārbaudi, tas atšķirsies no nieru slimības gadījuma. Turklāt dažādi testi var būt arī kļūdaini, piemēram, ja cilvēkam ir pozitīvs tests, tas neapliecina, ka viņš patiešām ir slims.
Reti var būt gadījumi, kad pārbaudēs ir augsts viltus pozitīvu rezultātu rādītājs. Šādās situācijās Bayes teorēma ņem testa rezultātus un pārbauda faktisko varbūtību, vai tests precīzi identificēja notikumu vai nē. Iedziļināsimies šīs teorēmas pasaulē un sapratīsim, kas tā ir un kā tā darbojas.
Kāda ir Bayes teorēmas formula?
Šīs nosacītās varbūtības atrašanai izmantotā formula ir dota, kā jau minēts, Beijesa teorēma.
- P(A) = A rašanās varbūtība
- P(B) = B rašanās varbūtība
- P(A?B) = varbūtība, ka A ir dots B
- P(B? A) = B varbūtība, ņemot vērā A
- P(A?B)) = A un B rašanās varbūtība.
Bayes teorēmu var izteikt arī dažādās formās konkrētiem mērķiem. Viena diezgan populāra versija ir Rūdolfa Karnapa atbilstības koeficienta jeb varbūtības koeficienta versija (Carnap 1962, 466).
Šis ir reizinātājs PR(H,E) = PE(H)/P(H)
Šī teorēmas īpašā forma pieņem, ka H beznosacījumu varbūtība ir jāreizina, lai iegūtu tās varbūtību, kas atkarīga no E. Tas liek domāt, ka Beijesa teorēma ir kā vienkāršs simetrijas princips varbūtības koeficientiem
Kur izmantot Bayes teorēmu?
Kā minēts iepriekš, šī teorēma tiek izmantota, lai noteiktu notikuma nosacīto varbūtību, ja ir kāds cits notikums. Tātad ņemsim kā piemēru divus notikumus:
- A = lietaini mākoņi debesīs
- B = tajā dienā līst
Tad mēs varam noteikt
- P(A) = varbūtība, ka debesīs ir lietaini mākoņi = 0,2
- P(B) = varbūtība, ka dienā līs = 0,6
- P(A | B) = lietus mākoņu parādīšanās varbūtība debesīs, ņemot vērā, ka tajā dienā lija lietus = 0,9
- P(B|A) = lietus varbūtība dienā, kad debesīs bija mākoņi
Iepriekš minētās divas ir nosacītas varbūtības. Lai aprēķinātu vienu no tiem, jums jāzina otrs un abu individuālās varbūtības. Pēc tam varat izmantot teorēmu, lai iegūtu nepieciešamo nosacīto varbūtību.
Piemēram, lai aprēķinātu P(B|A), nepieciešams P(A|B), P(A) un P(B). Tad jūs varat piemērot Beijesa teorēmu šādi:
P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A) = 0,9 * 0,6 / 0,2 = 0,27
Tas parāda, ka lietus iespējamība dienā, ņemot vērā, ka debesīs bija mākoņi, ir 0,27. Bayes teorēma
Lietojumprogrammas. Bayes teorēma
Tomasa Beisa teorēmu var piemērot dažādām problēmām. To var izmantot, lai noteiktu testa precizitāti, ņemot vērā citu nepieciešamo varbūtību kopu.
Lai noteiktu posterioro varbūtību, ir nepieciešams iepriekšējs varbūtības sadalījums. Iepriekšējā varbūtība ir varbūtība, pirms tiek vākti jauni dati. No otras puses, Posterior ir pārskatīta varbūtība, ka notikums uzzinās jaunu informāciju.
Vienkārši sakot, aizmugurējā varbūtība ir P(A|B), kas ir A varbūtība, ņemot vērā, ka B jau ir noticis pirms eksperimenta.
Tās formula tiek izmantota, lai redzētu, kā notikuma iespējamību ietekmē noteikti ierobežojumi un notikumi, kas jau ir notikuši.
Tomasa Beijesa teorēmā lietotie nosaukšanas termini
Dažādie šajā teorēmā izmantotie termini ir pareizi nosaukti. Šeit ir tie.
- P(A|B) = aizmugurējā varbūtība: šī ir nosacītā varbūtība, kas mums jāatrod.
- P(A) = iepriekšējā varbūtība: šī ir varbūtība, kāda mums bija pirms eksperimenta.
- P(B|A) = varbūtība
- P(B) = pierādījumi
Tādējādi mēs varam atkārtot Bayes teorēmu kā
A posteriori = Varbūtība * A priori / Pierādījumi
Saucējs/Beisa teorēma
В formula Bayes teorēmu var redzēt, ka saucējs ir notikuma robežvarbūtība. To sauc arī par kopējo notikuma varbūtību, kas nozīmē, ka tā ir varbūtība, ka notikums notiks jebkuros apstākļos.
Notikuma kopējā varbūtība bieži nav zināma; ir zināmas šī notikuma nosacītās varbūtības, kas ir pakļautas dažādiem ierobežojumiem.
- Pēc tam kopējo varbūtību var noteikt, izmantojot tālāk norādīto formulu.
P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….
Kur
E1, E2, E3 ir notikumi, kas varēja notikt pagātnē.
Vai arī varat to uzzināt, izmantojot
P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | nav B) * P (nav B)
Ja visas nepieciešamās nosacītās varbūtības ir zināmas / Beijesa teorēma
Tā, piemēram,
No maisa, kurā ir trīs melnas, trīs sarkanas un trīs dzeltenas bumbiņas, tiek izvilktas divas bumbiņas. Tad varbūtība paņemt sarkano bumbiņu otrreiz būs P (R), un to var atrast, rīkojoties šādi:
- P(R|R') = varbūtība, ka otrā bumbiņa kļūs sarkana, ja pirmā bumbiņa bija melna vai dzeltena
- P(R|R) = varbūtība, ka otrā bumbiņa kļūs sarkana, ja pirmā bumbiņa ir sarkana.
Tad kopējā varbūtība, ka otrā bumbiņa kļūs sarkana, tiek dota ar
P(R) = P(R|R') + P(R|R)
Skaitliski
P(R|R') =?
P(R | R) = ¼
Tātad kopējā varbūtība iegūt sarkano bumbu ir:
P (R) =? + ¼ =?
Reāli medicīnisko pārbaužu piemēri. Bayes teorēma
Šeit mēs sniedzam piemēru, kā Beijesa teorēmu var piemērot reālās dzīves scenārijiem. Šis piemērs ir plaši izplatīta teorēmas pielietojuma joma.
Parasti medicīniskās pārbaudes dažādu slimību diagnosticēšanai nav 100% precīzas. Var gadīties, ka cilvēks slimo ar kādu slimību, tomēr tests uzrāda negatīvus rezultātus. Vai arī var būt, ka cilvēks neslimo ar slimību, bet tests uzrāda pozitīvus rezultātus. - Tāpēc, veicot pozitīvu pārbaudi, rodas neskaidrības par viltus pozitīviem, viltus negatīviem vai patiesiem pozitīviem rezultātiem.
Jā, tas izklausās biedējoši, bet fakts ir tāds, ka nekas nav 100% ideāls, un arī šie testi nav tādi!
Šeit, izmantojot datus, kas saistīti ar hipotētisku HIV testēšanas ierīci, mums ir dažādas varbūtības, kas nepieciešamas, lai noteiktu ierīces precizitāti.
Bayes teorēma
Mēs zinām, ka testa ierīce dažkārt dod nepareizu rezultātu, taču mums ir jānoskaidro, vai šādu nepareizu rezultātu skaits nav pārāk liels, lai radītu šaubas par testa ticamību? Tātad šeit mēs noskaidrosim varbūtību, ka persona, kuras tests ir pozitīvs, ir pozitīvs vai nē.
Testēšanas ierīce pareizi ziņo par 90% pozitīvo gadījumu, bet atlikušos 10% pozitīvo gadījumu tā neatklāj. Turklāt viņš var negatīvi vērtēt cilvēku, ja viņš ir negatīvs 99% gadījumu. Bet 1% cilvēku ir pozitīvi, pat ja tie ir kaitīgi. Mēs arī zinām, ka tikai 0,1% no visiem iedzīvotājiem cieš no šīs slimības. Tagad cilvēks tiek nejauši izvēlēts no lielas populācijas, un viņa testi ir pozitīvi. Mums ir jāatrod iespējamība, ka cilvēks būs inficēts ar HIV. Bayes teorēma
Lai E ir notikums, kad cilvēks inficējas ar HIV. Tātad E' nozīmē, ka viņš ir HIV negatīvs.
Lai A ir notikums, kad testa ziņojums ir pozitīvs.
Tādējādi mēs prasām varbūtību, ka cilvēks ir inficēts ar HIV, ja viņš saņem pozitīvu testa rezultātu. Tas nozīmē, ka mums jāatrod P(E|A).
Tagad mums ir šādas varbūtības.
1.P(E) = 0,1% = 0,001 = iespējamība inficēties ar HIV
2. P(E') = 0,999 = varbūtība neslimot ar HIV
3. P(A | E) = 99% = 0,99 = varbūtība, ka persona ir slima ar HIV, ņemot vērā, ka viņa ziņojumos viņam arī tika noteikta pozitīva diagnoze.
4. P(A|E') = 1% = 0,01 = varbūtība, ka personai nav HIV, bet viņa ziņo, ka tests ir pozitīvs. Bayes teorēma
Tāpēc, izmantojot Bayes teorēmu,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}
= 0,083 (aptuveni)
Tāpēc iespējamība, ka nejauši izvēlētai personai būs HIV pozitīva, ir 0,083, kas ir tikai 8,3%. Tas skaidri parāda, ka tests ir nepieņemams un to vairs nevajadzētu izmantot slimības diagnosticēšanai.
Šis slimības varbūtības aprēķins parasti tiek veikts, lai noteiktu ierīču piemērotību. Bayes teorēmai šeit patiešām ir galvenā loma. Bet šī nav vienīgā joma, kurā tiek izmantota Beijesa teorēma.
Pēdējās domas! Bayes teorēma
Bayes teorēma ir ļoti izplatīta teorēma, ko izmanto mašīnmācībā, lai veiktu prognozes, pamatojoties uz iepriekš pieejamajiem datiem. Tas arī palīdz klasificēt datus dažādās kategorijās, atkal izmantojot mašīnmācīšanās metodes.
Nu, to izmanto ne tikai augsta līmeņa zinātniskiem aprēķiniem. To izmanto arī dažiem dažādiem pētījumiem. Vai esat kādreiz domājuši, kā šīs iepazīšanās vietnes nodrošina jums piemērotākos mačus?
Viņi izmanto Beijesa teorēmu, lai noteiktu jūsu izredzes saskaņot šo personu, ņemot vērā, ka viņi jau zina īpašības, kurām esat izvēlējies agrāk!
FAQ. Bayes teorēma.
Kas ir Bayes teorēma?
Bayes teorēma ir matemātisks princips, kas apraksta nosacīto notikuma iespējamību, pamatojoties uz notikumiem, kas ar to saistīti.
Kā tiek formulēta Bayes teorēma?
Diviem notikumiem A un B Bayes teorēmas formula ir izteikta šādi: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), kur P(A|B) ) ir notikuma A varbūtība, kas pakļauta B.
Kāda ir nosacītās varbūtības būtība Beijesa teorēmas kontekstā?
Nosacītā varbūtība atspoguļo notikuma iespējamību, ja cits notikums jau ir noticis vai ir zināms.
Kā Beijesa teorēma tiek izmantota statistikā?
Statistikā Bayes teorēmu izmanto, lai atjauninātu hipotēzes varbūtību, kad ir pieejami jauni dati vai papildu informācija.
Kādas ir iepriekšējās un posteriorās varbūtības Bayes teorēmas kontekstā?
Iepriekšējā varbūtība ir hipotēzes varbūtības sākotnējais novērtējums, pirms tiek ņemti vērā jauni dati. Posterior Probability ir atjaunināta varbūtība pēc jaunas informācijas ņemšanas vērā.
Kā Beijesa teorēma tiek izmantota mašīnmācībā?
Mašīnmācībā Bayes teorēma tiek izmantota Bajesa metodēs, piemēram, Bajesa klasifikācijā. Tas palīdz modelim atjaunināt skatus, pamatojoties uz jauniem datiem.
Kāda ir Bayes teorēmas nozīme lēmumu pieņemšanā?
Bayes teorēma ir galvenais rīks lēmumu pieņemšanai nenoteiktības apstākļos, kad mums ir daži dati vai informācija, bet nav pilnīgas noteiktības.
Vai varat sniegt piemēru par Bayes teorēmas izmantošanu reālajā dzīvē?
Piemēram, medicīniskajā diagnostikā, kur ārsts, sniedzot jaunus testa rezultātus, var atjaunināt pacienta saslimšanas varbūtību.
Kā Beijesa teorēma atšķiras no īpašās varbūtības teorēmas?
Bayes teorēma ir nosacītās varbūtības forma, kas apraksta notikuma varbūtību, ja ir kāds cits notikums, savukārt vispārējā varbūtības teorēma apraksta patvaļīga notikuma iespējamību.
Vai var būt situācijas, kurās Bayes teorēma nav piemērojama?
Bayes teorēma var būt ierobežota gadījumos, kad dati ir nepietiekami vai kad notikumi ir ļoti atkarīgi no papildu faktoriem, kas nav iekļauti modelī.
Atstājiet savu komentāru