Bayes' teorem er en matematisk teorem som beskriver sannsynligheten for en hendelse basert på den betingede sannsynligheten for andre relaterte hendelser. Teoremet ble oppkalt etter den engelske matematikeren Thomas Bayes og spiller en viktig rolle innen statistikk, sannsynlighet og maskinlæring.

For eksempel å bestemme sannsynligheten for å trekke en rød ball en gang til fra en pose som inneholder tre røde og tre svarte kuler, gitt at den røde ballen ble trukket og erstattet første gang. Sjansene dine for å få en parkeringsplass avhenger også av tiden på dagen, hvor du parkerer osv.

Dette gir oss en ganske enkel formel for å beregne betinget sannsynlighet.

For eksempel

Hvis det er to hendelser A og B, og den totale sannsynligheten for at begge vil inntreffe er henholdsvis P(A) og P(B).

Da er sannsynligheten for at hendelse A skal inntreffe, forutsatt at hendelse B også har skjedd, betegnet med P (A | B).

Generelt hjelper Bayes' teorem deg med å få den reelle sannsynligheten for en hendelse basert på gitt testinformasjon.

Her er hendelsene svært forskjellige fra testene, for eksempel når du går til test for nyresykdom vil det være annerledes enn et tilfelle av nyresykdom. I tillegg kan forskjellige tester også være feil, for eksempel hvis en person tester positivt, bekrefter det ikke at han eller hun faktisk er syk.

Det kan være sjeldne tilfeller av tester med høye falske positive rater. I slike situasjoner tar Bayes' teorem testresultatene og sjekker den faktiske sannsynligheten for om testen identifiserte hendelsen nøyaktig eller ikke. La oss fordype oss i verden av dette teoremet og forstå hva det er og hvordan det fungerer.

Hva er formelen for Bayes' teorem?

Formelen som brukes for å finne denne betingede sannsynligheten er gitt av Bayes' teorem, som allerede nevnt.

Bayes' teorem

  1. P(A) = sannsynlighet for forekomst av A
  2. P(B) = sannsynlighet for forekomst av B
  3. P(A?B) = sannsynligheten for at A gir B
  4. P(B? A) = sannsynligheten for B gitt A
  5. P(A?B)) = sannsynlighet for at både A og B oppstår.

Bayes' teorem kan også uttrykkes i forskjellige former for spesifikke formål. En ganske populær versjon er den av Rudolph Carnaps relevansskoeffisient eller sannsynlighetsforhold (Carnap 1962, 466).

Dette er multiplikatoren PR(H,E) = PE(H)/P(H)

Denne spesielle formen for teoremet antar at den ubetingede sannsynligheten for H må multipliseres for å få sannsynligheten betinget av E. Dette antyder at Bayes' teorem er som et enkelt symmetriprinsipp for sannsynlighetsforhold.

Hvor skal man bruke Bayes' teorem?

Som nevnt ovenfor, brukes denne teoremet til å bestemme den betingede sannsynligheten for en hendelse gitt en annen hendelse. Så la oss ta to hendelser som et eksempel:

  • A = regntunge skyer på himmelen
  • B = Det regner den dagen

Så kan vi bestemme

  • P(A) = sannsynlighet for at det er regnskyer på himmelen = 0,2
  • P(B) = sannsynlighet for at det regner på en dag = 0,6
  • P(A|B) = sannsynlighet for at regnskyer dukker opp på himmelen gitt at det regnet den dagen = 0,9
  • P(B|A) = sannsynlighet for regn på en dag da det var skyer på himmelen

De to ovennevnte er betingede sannsynligheter. For å beregne en av dem, må du kjenne den andre og de individuelle sannsynlighetene for begge. Du kan deretter bruke teoremet for å få den nødvendige betingede sannsynligheten.

For eksempel, for å beregne P(B|A), trenger du P(A|B), P(A) og P(B). Deretter kan du bruke Bayes' teorem slik:

P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A)

= 0,9 * 0,6 / 0,2

= 0,27

Dette viser oss at sannsynligheten for regn per dag, gitt at det var skyer på himmelen, er 0,27. Bayes' teorem

Applikasjoner. Bayes' teorem

Thomas Bayes teorem kan brukes på en rekke problemer. Den kan brukes til å bestemme nøyaktigheten til en test gitt et annet nødvendig sett med sannsynligheter.

For å bestemme den bakre sannsynligheten kreves en forhåndssannsynlighetsfordeling. Den tidligere sannsynligheten er sannsynligheten før noen nye data samles inn. På den annen side er Posterior den reviderte sannsynligheten for at en hendelse vil lære ny informasjon.

Enkelt sagt er den bakre sannsynligheten P(A|B), som er sannsynligheten for A gitt at B allerede har skjedd før eksperimentet.

Formelen brukes til å se hvordan sannsynligheten for at en hendelse inntreffer påvirkes av visse begrensninger og hendelser som allerede har skjedd.

Navnebegreper brukt i Thomas Bayes teorem

De ulike begrepene som brukes i denne teoremet er korrekt navngitt. Her er de.

  • P(A|B) = Posterior sannsynlighet: Dette er den betingede sannsynligheten vi må finne.
  • P(A) = Tidligere sannsynlighet: Dette er sannsynligheten vi hadde før eksperimentet.
  • P(B|A) = Sannsynlighet
  • P(B) = Bevis

Dermed kan vi gjengi Bayes' teorem som
A posteriori = Sannsynlighet * A priori / Bevis

Nevner/Bayes' teorem

В formel Bayes teorem kan du se at nevneren er den marginale sannsynligheten for en hendelse. Dette kalles også den samlede sannsynligheten for en hendelse, som betyr at det er sannsynligheten for at hendelsen vil inntreffe under noen omstendigheter.

Den totale sannsynligheten for en hendelse er ofte ukjent; det som er kjent er de betingede sannsynlighetene for at hendelsen inntreffer, underlagt ulike begrensninger.

  • Den totale sannsynligheten kan deretter bestemmes ved hjelp av formelen nedenfor.

P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….

hvor

E1, E2, E3 er hendelser som kunne ha skjedd i fortiden.

Eller du kan finne ut av dette ved å bruke

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | ikke B) * P (ikke B)

Hvis alle nødvendige betingede sannsynligheter er kjent / Bayes' teorem

For eksempel,

To kuler trekkes fra en pose som inneholder tre sorte, tre røde og tre gule kuler. Da vil sannsynligheten for å plukke opp den røde ballen for andre gang være P (R), og den kan bli funnet ved å gjøre følgende:

  • P(R|R') = sannsynlighet for at den andre ballen blir rød hvis den første ballen var svart eller gul
  • P(R|R) = sannsynlighet for at den andre ballen blir rød hvis den første ballen er rød.

Da er den totale sannsynligheten for at den andre kulen blir rød gitt av

P(R) = P(R|R') + P(R|R)

Tallmessig

P(R|R') =?

P(R | R) = ¼

Så den totale sannsynligheten for å få en rød ball er:

P (R) =? + ¼ =?

Ekte eksempler på medisinske tester. Bayes' teorem

Bayes' teorem

Her gir vi deg et eksempel på hvordan Bayes' teorem kan brukes på scenarier i det virkelige liv. Dette eksemplet er et utbredt anvendelsesområde for teoremet.

Generelt er medisinske tester for diagnostisering av ulike sykdommer ikke 100 % nøyaktige. Det kan skje at en person lider av en eller annen sykdom, og likevel viser testen negative resultater. Eller det kan være at personen ikke lider av sykdommen, men testen viser positive resultater. - Så å ha forvirring rundt falske positive, falske negative eller sanne positive når du tester positivt.

Ja, det høres skremmende ut, men faktum er at ingenting er 100% perfekt, og det er heller ikke disse testene!

Her, ved å bruke data relatert til en hypotetisk HIV-testenhet, har vi de ulike sannsynlighetene som trengs for å bestemme nøyaktigheten til enheten.

Bayes' teorem

Vi vet at testapparatet noen ganger gir feil resultat, men vi må finne ut om antallet slike feilresultater er for stort til å så tvil om testens pålitelighet? Så her skal vi finne ut sannsynligheten for at en person som tester positivt er positiv eller ikke.

Testenheten rapporterer riktig for 90 % av de positive tilfellene, mens de resterende 10 % av de positive tilfellene forblir uoppdaget av den. I tillegg kan han dømme en person negativt hvis han er negativ 99% av tiden. Men 1 % av mennesker tester positivt selv om de er skadelige. Vi vet også at bare 0,1 % av hele befolkningen lider av denne sykdommen. Nå er en person valgt tilfeldig fra en stor populasjon og tester positivt. Vi må finne sannsynligheten for at en person blir HIV-smittet. Bayes' teorem

La E være hendelsen når en person blir smittet med HIV. Så E betyr at han er HIV-negativ.

La A være hendelsen når testrapporten er positiv.

Dermed krever vi sannsynligheten for at en person er smittet med hiv gitt at han får et positivt testresultat. Dette betyr at vi må finne P(E|A).

Vi har nå følgende sannsynligheter.

1.P(E) = 0,1 % = 0,001 = sannsynlighet for å få HIV

2. P(E') = 0,999 = sannsynlighet for ikke å lide av HIV

3. P(A | E) = 99 % = 0,99 = sannsynlighet for at en person lider av HIV, gitt at rapportene hans også ga ham en positiv diagnose.

4. P(A|E') = 1 % = 0,01 = sannsynlighet for at en person ikke har HIV, men rapporterer å ha testet positivt. Bayes' teorem

Derfor, ved å bruke Bayes' teorem,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}

= 0,083 (ca.)

Derfor er sannsynligheten for at en person valgt tilfeldig tester positiv for HIV 0,083, som er bare 8,3 %. Dette viser tydelig at testen er uakseptabel og ikke lenger bør brukes til å diagnostisere sykdommen.

Denne beregningen av sykdomssannsynlighetene utføres vanligvis for å bestemme utstyrets egnethet. Bayes' teorem spiller virkelig en nøkkelrolle her. Men dette er ikke det eneste området der Bayes' teorem brukes.

Siste tanker! Bayes' teorem

Bayes' teorem er et veldig vanlig teorem som brukes i maskinlæring for å lage spådommer basert på tidligere tilgjengelige data. Det hjelper også med å klassifisere data i forskjellige kategorier, igjen ved hjelp av maskinlæringsteknikker.

Vel, det brukes ikke bare til vitenskapelige beregninger på høyt nivå. Den brukes også til noen forskjellige studier. Har du noen gang lurt på hvordan disse datingsidene gir deg de best passende kampene?

Vel, de bruker Bayes' teorem for å bestemme sjansene dine for å matche den personen, gitt at de allerede kjenner egenskapene du har foretrukket tidligere!

 

FAQ. Bayes' teorem.

  1. Hva er Bayes' teorem?

    • Bayes' teorem er et matematisk prinsipp som beskriver den betingede sannsynligheten for en hendelse basert på hendelser knyttet til den.
  2. Hvordan er Bayes' teorem formulert?

    • For to hendelser A og B er formelen til Bayes' teorem uttrykt som følger: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), hvor P(A|B) ) er sannsynligheten for hendelse A underlagt B.
  3. Hva er essensen av betinget sannsynlighet i sammenheng med Bayes' teorem?

    • Betinget sannsynlighet gjenspeiler sannsynligheten for at en hendelse inntreffer gitt at en annen hendelse allerede har skjedd eller er kjent.
  4. Hvordan brukes Bayes' teorem i statistikk?

    • I statistikk brukes Bayes' teorem for å oppdatere sannsynligheten for en hypotese når nye data eller tilleggsinformasjon er tilgjengelig.
  5. Hva er tidligere og bakre sannsynligheter i sammenheng med Bayes' teorem?

    • Prior Probability er et første estimat av sannsynligheten for en hypotese før man tar hensyn til nye data. Bakre sannsynlighet er den oppdaterte sannsynligheten etter å ha tatt hensyn til ny informasjon.
  6. Hvordan brukes Bayes' teorem i maskinlæring?

    • I maskinlæring brukes Bayes' teorem i Bayesianske metoder som Bayesiansk klassifisering. Dette hjelper modellen med å oppdatere synspunktene sine basert på nye data.
  7. Hva er betydningen av Bayes' teorem i beslutningstaking?

    • Bayes' teorem er et nøkkelverktøy for å ta avgjørelser under forhold med usikkerhet, når vi har noen data eller informasjon, men ikke fullstendig sikkerhet.
  8. Kan du gi et eksempel på bruk av Bayes' teorem i det virkelige liv?

    • For eksempel innen medisinsk diagnostikk, hvor en lege kan oppdatere sannsynligheten for at en pasient har en sykdom gitt nye testresultater.
  9. Hvordan skiller Bayes teorem seg fra den spesielle sannsynlighetssetningen?

    • Bayes' teorem er en form for betinget sannsynlighet som beskriver sannsynligheten for en hendelse gitt en annen hendelse, mens den generelle sannsynlighetssetningen beskriver sannsynligheten for en vilkårlig hendelse.
  10. Kan det være situasjoner der Bayes' teorem ikke gjelder?

    • Bayes' teorem kan være begrenset i tilfeller hvor data er utilstrekkelig, eller når hendelser er svært avhengige av tilleggsfaktorer som ikke er inkludert i modellen.