Twierdzenie Bayesa - definicja, wzory i zastosowania

Twierdzenie Bayesa jest twierdzeniem matematycznym opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie prawdopodobieństwa warunkowego innych powiązanych zdarzeń. Twierdzenie zostało nazwane na cześć angielskiego matematyka Thomasa Bayesa i odgrywa ważną rolę w statystyce, prawdopodobieństwie i uczeniu maszynowym.

Na przykład określenie prawdopodobieństwa wyciągnięcia czerwonej kuli po raz drugi z worka zawierającego trzy czerwone i trzy czarne kule, przy założeniu, że czerwona kula została wylosowana i odłożona po raz pierwszy. Ponadto Twoje szanse na znalezienie miejsca parkingowego zależą od pory dnia, miejsca parkowania itp.

Daje nam to dość prosty wzór na obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego.

na przykład

Jeśli istnieją dwa zdarzenia A i B, a całkowite prawdopodobieństwo ich wystąpienia wynosi odpowiednio P(A) i P(B).

Wówczas prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, pod warunkiem, że zaszło także zdarzenie B, oznaczamy przez P (A | B).

Ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie Bayesa pomaga uzyskać rzeczywiste prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie podanych informacji testowych.

Tutaj zdarzenia bardzo różnią się od testów, na przykład, gdy idziesz na badanie na chorobę nerek, będzie to różniło się od przypadku choroby nerek. Ponadto różne testy mogą również wykazywać wady, np. pozytywny wynik testu nie potwierdza, że faktycznie jest ona chora.

Mogą wystąpić rzadkie przypadki testów z dużą liczbą wyników fałszywie dodatnich. W takich sytuacjach twierdzenie Bayesa na podstawie wyników testu sprawdza rzeczywiste prawdopodobieństwo, czy test trafnie zidentyfikował zdarzenie, czy też nie. Zagłębmy się w świat tego twierdzenia i zrozumiemy, co to jest i jak działa.

Jaki jest wzór na twierdzenie Bayesa?

Wzór używany do znalezienia tego prawdopodobieństwa warunkowego jest podany przez twierdzenie Bayesa, jak już wspomniano.

$Twierdzenie Bayesa$

P(A) = prawdopodobieństwo wystąpienia A
P(B) = prawdopodobieństwo wystąpienia B
P(A?B) = prawdopodobieństwo, że A ma dane B
P(B? A) = prawdopodobieństwo B przy danym A
P(A?B)) = prawdopodobieństwo wystąpienia zarówno A, jak i B.

Twierdzenie Bayesa można również wyrazić w różnych formach dla określonych celów. Jedną z dość popularnych wersji jest współczynnik trafności lub współczynnik prawdopodobieństwa Rudolpha Carnapa (Carnap 1962, 466).

To jest mnożnik PR(H,E) = PE(H)/P(H)

Ta szczególna postać twierdzenia zakłada, że bezwarunkowe prawdopodobieństwo H należy pomnożyć, aby otrzymać prawdopodobieństwo zależne od E. Sugeruje to, że twierdzenie Bayesa przypomina prostą zasadę symetrii dla stosunków prawdopodobieństwa

Gdzie stosować twierdzenie Bayesa?

Jak stwierdzono powyżej, twierdzenie to służy do określenia prawdopodobieństwa warunkowego zdarzenia przy innym zdarzeniu. Weźmy więc na przykład dwa wydarzenia:

A = deszczowe chmury na niebie.
B = Tego dnia pada deszcz.

Wtedy możemy ustalić.

P(A) = prawdopodobieństwo, że na niebie znajdują się chmury deszczowe = 0,2.
P(B) = prawdopodobieństwo, że danego dnia będzie padać deszcz = 0,6.
P(A | B) = prawdopodobieństwo pojawienia się chmur deszczowych na niebie, przy założeniu, że danego dnia padał deszcz = 0,9.
P(B | A) = prawdopodobieństwo opadów deszczu w dniu, w którym na niebie są chmury.

Powyższe dwa są prawdopodobieństwami warunkowymi. Aby obliczyć jedno z nich, musisz znać drugi i indywidualne prawdopodobieństwa obu. Następnie można zastosować twierdzenie, aby uzyskać wymagane prawdopodobieństwo warunkowe.

Na przykład, aby obliczyć P(B|A), potrzebujesz P(A|B), P(A) i P(B). Następnie możesz zastosować twierdzenie Bayesa w następujący sposób:

P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A) = 0,9 * 0,6 / 0,2 = 0,27

To pokazuje nam, że prawdopodobieństwo wystąpienia deszczu w ciągu dnia, biorąc pod uwagę, że na niebie były chmury, wynosi 0,27. Twierdzenie Bayesa

Aplikacje. Twierdzenie Bayesa.

Twierdzenie Thomasa Bayesa można zastosować do różnych problemów. Można go wykorzystać do określenia dokładności testu przy innym wymaganym zestawie prawdopodobieństw.

Aby określić prawdopodobieństwo późniejsze, wymagany jest wcześniejszy rozkład prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo wcześniejsze to prawdopodobieństwo, zanim zostaną zebrane jakiekolwiek nowe dane. Z drugiej strony, Posterior to skorygowane prawdopodobieństwo, że zdarzenie nauczy się nowych informacji.

Mówiąc najprościej, prawdopodobieństwo późniejsze to P(A|B), które jest prawdopodobieństwem A, przy założeniu, że B miało już miejsce przed eksperymentem.

Jego wzór służy do sprawdzenia, jak na prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wpływają pewne ograniczenia i zdarzenia, które już wystąpiły.

Nazewnictwo terminów użytych w twierdzeniu Thomasa Bayesa.

Różne terminy użyte w tym twierdzeniu mają prawidłowe nazwy. Oto one.

P(A|B) = Prawdopodobieństwo późniejsze: Jest to prawdopodobieństwo warunkowe, które musimy znaleźć.
P(A) = Prawdopodobieństwo wcześniejsze: Jest to prawdopodobieństwo, jakie mieliśmy przed eksperymentem.
P(B|A) = Prawdopodobieństwo.
P(B) = Dowód.

Zatem możemy przekształcić twierdzenie Bayesa jako
A posteriori = Prawdopodobieństwo * A priori / Dowód.

Mianownik/Twierdzenie Bayesa

В formuła Z twierdzenia Bayesa widać, że mianownikiem jest krańcowe prawdopodobieństwo zdarzenia. Nazywa się to również ogólnym prawdopodobieństwem zdarzenia, co oznacza prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi w każdych okolicznościach.

Ogólne prawdopodobieństwo zdarzenia jest często nieznane; znane są prawdopodobieństwa warunkowe wystąpienia tego zdarzenia, z zastrzeżeniem różnych ograniczeń.

Prawdopodobieństwo całkowite można następnie określić za pomocą poniższego wzoru.

P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….

Где

E1, E2, E3 to zdarzenia, które mogły wydarzyć się w przeszłości.

Albo możesz się tego dowiedzieć za pomocą .

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | nie B) * P (nie B)

Jeśli znane są wszystkie wymagane prawdopodobieństwa warunkowe / Twierdzenie Bayesa

Przykład.

Z urny zawierającej trzy kule czarne, trzy czerwone i trzy żółte wylosowano dwie kule. Wtedy prawdopodobieństwo podniesienia czerwonej piłki po raz drugi wyniesie P (R) i można je znaleźć, wykonując następujące czynności:

P(R|R') = prawdopodobieństwo, że druga kula zmieni kolor na czerwony, jeśli pierwsza kula była czarna lub żółta
P(R|R) = prawdopodobieństwo, że druga kula zmieni kolor na czerwony, jeśli pierwsza kula będzie czerwona.

Następnie podaje się całkowite prawdopodobieństwo, że druga kula zmieni kolor na czerwony

P(R) = P(R|R') + P(R|R)

Liczebnie

P(R|R') =?

P(R | R) = ¼

Zatem całkowite prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli wynosi:

P (R) =? + ¼ =?

Prawdziwe przykłady badań medycznych. Twierdzenie Bayesa.

Poniżej podajemy przykład zastosowania twierdzenia Bayesa w rzeczywistych sytuacjach. Ten przykład jest szerokim obszarem zastosowania twierdzenia.

Ogólnie rzecz biorąc, testy medyczne służące do diagnozowania różnych chorób nie są w 100% dokładne. Może się zdarzyć, że dana osoba cierpi na jakąś chorobę, a mimo to test wykazuje wynik negatywny. Może się też zdarzyć, że dana osoba nie cierpi na tę chorobę, ale test wykazuje pozytywne wyniki. – Zatem zamieszanie wokół wyników fałszywie dodatnich, fałszywie ujemnych lub prawdziwie dodatnich, gdy wynik testu jest pozytywny.

Tak, brzmi to przerażająco, ale faktem jest, że nic nie jest w 100% idealne i te testy też nie są!

Tutaj, korzystając z danych związanych z hipotetycznym urządzeniem do testowania wirusa HIV, mamy różne prawdopodobieństwa potrzebne do określenia dokładności urządzenia.

Twierdzenie Bayesa.

Wiemy, że urządzenie testujące czasami daje błędny wynik, ale trzeba się dowiedzieć, czy liczba takich błędnych wyników nie jest zbyt duża, aby poddawać w wątpliwość rzetelność testu? Zatem tutaj dowiemy się, jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba, która uzyska pozytywny wynik testu, będzie dodatnia, czy nie.

Urządzenie testujące poprawnie zgłasza 90% pozytywnych przypadków, podczas gdy pozostałe 10% pozytywnych przypadków pozostaje przez nie wykrywane. Ponadto może ocenić osobę negatywnie, jeśli w 99% przypadków jest ona negatywna. Ale 1% osób ma pozytywny wynik testu, nawet jeśli jest szkodliwy. Wiemy też, że na tę chorobę cierpi zaledwie 0,1% całej populacji. Teraz z dużej populacji wybierana jest losowo osoba, której test daje wynik pozytywny. Musimy znaleźć prawdopodobieństwo, że dana osoba zostanie zakażona wirusem HIV. Twierdzenie Bayesa

Niech E będzie zdarzeniem, w którym dana osoba zostanie zarażona wirusem HIV. Zatem E' oznacza, że jest nosicielem wirusa HIV.

Niech A będzie zdarzeniem, w którym raport z testu będzie pozytywny.

Dlatego wymagamy prawdopodobieństwa, że dana osoba jest zarażona wirusem HIV, przy założeniu, że otrzyma pozytywny wynik testu. Oznacza to, że musimy znaleźć P(E|A).

Mamy teraz następujące prawdopodobieństwa.

1.P(E) = 0,1% = 0,001 = prawdopodobieństwo zarażenia wirusem HIV

2. P(E') = 0,999 = prawdopodobieństwo, że nie jesteś zakażony wirusem HIV

3. P(A | E) = 99% = 0,99 = prawdopodobieństwo, że dana osoba jest nosicielką wirusa HIV, biorąc pod uwagę, że jego raporty również dały pozytywną diagnozę.

4. P(A|E') = 1% = 0,01 = prawdopodobieństwo, że dana osoba nie jest nosicielką wirusa HIV, ale zgłosi pozytywny wynik testu. Twierdzenie Bayesa

Dlatego korzystając z twierdzenia Bayesa,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}

= 0,083 (w przybliżeniu)

Zatem prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba uzyska wynik pozytywny na obecność wirusa HIV wynosi 0,083, co stanowi zaledwie 8,3%. To wyraźnie pokazuje, że test jest nieakceptowalny i nie powinien być już stosowany w diagnostyce choroby.

Obliczenie prawdopodobieństwa choroby zwykle przeprowadza się w celu określenia przydatności urządzeń. Twierdzenie Bayesa naprawdę odgrywa tu kluczową rolę. Ale nie jest to jedyny obszar, w którym stosuje się twierdzenie Bayesa.

Ostatnie przemyślenia! Twierdzenie Bayesa.

Twierdzenie Bayesa jest bardzo powszechnym twierdzeniem używanym w uczeniu maszynowym do przewidywania na podstawie wcześniej dostępnych danych. Pomaga także klasyfikować dane na różne kategorie, ponownie wykorzystując techniki uczenia maszynowego.

Cóż, nie jest on używany tylko do obliczeń naukowych wysokiego poziomu. Jest również używany do różnych badań. Czy zastanawiałeś się kiedyś, w jaki sposób te serwisy randkowe zapewniają Ci najbardziej odpowiednie dopasowania?

Cóż, używają twierdzenia Bayesa, aby określić Twoje szanse na dopasowanie tej osoby, biorąc pod uwagę, że zna ona już cechy, które preferowałeś w przeszłości!

Typografia ABC

Często zadawane pytania. Twierdzenie Bayesa.

Jakie jest twierdzenie Bayesa?

Twierdzenie Bayesa jest zasadą matematyczną opisującą prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia na podstawie zdarzeń z nim powiązanych.

Jak sformułowane jest twierdzenie Bayesa?

Dla dwóch zdarzeń A i B wzór twierdzenia Bayesa wyraża się następująco: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), gdzie P(A|B ) to prawdopodobieństwo zdarzenia A zależne od B.

Jaka jest istota prawdopodobieństwa warunkowego w kontekście twierdzenia Bayesa?

Prawdopodobieństwo warunkowe odzwierciedla prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, biorąc pod uwagę, że inne zdarzenie już miało miejsce lub jest znane.

W jaki sposób twierdzenie Bayesa jest wykorzystywane w statystyce?

W statystyce twierdzenie Bayesa służy do aktualizacji prawdopodobieństwa hipotezy, gdy dostępne są nowe dane lub dodatkowe informacje.

Jakie są prawdopodobieństwa wcześniejsze i późniejsze w kontekście twierdzenia Bayesa?

Prawdopodobieństwo wcześniejsze to wstępne oszacowanie prawdopodobieństwa hipotezy przed uwzględnieniem nowych danych. Prawdopodobieństwo późniejsze to prawdopodobieństwo zaktualizowane po uwzględnieniu nowych informacji.

W jaki sposób twierdzenie Bayesa jest wykorzystywane w uczeniu maszynowym?

W uczeniu maszynowym twierdzenie Bayesa jest wykorzystywane w metodach bayesowskich, takich jak klasyfikacja bayesowska. Pomaga to modelowi zaktualizować widoki w oparciu o nowe dane.

Jakie jest znaczenie twierdzenia Bayesa w podejmowaniu decyzji?

Twierdzenie Bayesa jest kluczowym narzędziem do podejmowania decyzji w warunkach niepewności, gdy mamy pewne dane lub informacje, ale nie mamy całkowitej pewności.

Czy możesz podać przykład zastosowania twierdzenia Bayesa w prawdziwym życiu?

Na przykład w diagnostyce medycznej, gdzie lekarz może zaktualizować prawdopodobieństwo choroby pacjenta na podstawie nowych wyników badań.

Czym twierdzenie Bayesa różni się od twierdzenia o szczególnym prawdopodobieństwie?

Twierdzenie Bayesa jest formą prawdopodobieństwa warunkowego, która opisuje prawdopodobieństwo zdarzenia przy założeniu innego zdarzenia, podczas gdy ogólne twierdzenie o prawdopodobieństwie opisuje prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia.

Czy mogą zaistnieć sytuacje, w których twierdzenie Bayesa nie ma zastosowania?

Twierdzenie Bayesa może być ograniczone w przypadkach, gdy dane są niewystarczające lub gdy zdarzenia są w dużym stopniu zależne od dodatkowych czynników, które nie są uwzględnione w modelu.