O teorema de Bayes é um teorema matemático que descreve a probabilidade de um evento com base na probabilidade condicional de outros eventos relacionados. O teorema recebeu o nome do matemático inglês Thomas Bayes e desempenha um papel importante em estatística, probabilidade e aprendizado de máquina.
Por exemplo, determinar a probabilidade de retirar uma segunda bola vermelha de um saco contendo três bolas vermelhas e três pretas, dado que a bola vermelha foi sorteada e substituída na primeira vez. Além disso, suas chances de conseguir uma vaga para estacionar dependem da hora do dia, de onde você estaciona, etc.
Isto nos dá uma fórmula bastante simples para calcular a probabilidade condicional.
Por exemplo
Se houver dois eventos A e B, e a probabilidade total de que ambos ocorram é P(A) e P(B), respectivamente.
Então a probabilidade de ocorrência do evento A, desde que o evento B também tenha ocorrido, é denotada por P (A | B).
Em geral, o teorema de Bayes ajuda a obter a probabilidade real de um evento com base nas informações do teste fornecidas.
Aqui os eventos são muito diferentes dos exames, por exemplo quando você vai fazer um exame de doença renal, vai ser diferente de um caso de doença renal. Além disso, diferentes testes também podem apresentar falhas, por exemplo, se o teste de uma pessoa for positivo, isso não confirma que ela está realmente doente.
Pode haver casos raros de testes com altas taxas de falsos positivos. Em tais situações, o teorema de Bayes pega os resultados do teste e verifica a probabilidade real de o teste ter identificado o evento com precisão ou não. Vamos nos aprofundar no mundo desse teorema e entender o que é e como funciona.
Qual é a fórmula do teorema de Bayes?
A fórmula utilizada para encontrar esta probabilidade condicional é dada pelo teorema de Bayes, conforme já mencionado.
- P(A) = probabilidade de ocorrência de A
- P(B) = probabilidade de ocorrência de B
- P (A?B) = probabilidade de A dado B
- P (B? A) = probabilidade de B dado A
- P(A?B)) = probabilidade de ocorrência de A e B.
O teorema de Bayes também pode ser expresso de diferentes formas para fins específicos. Uma versão bastante popular é a do coeficiente de relevância ou razão de probabilidade de Rudolph Carnap (Carnap 1962, 466).
Este é o multiplicador PR(H,E) = PE(H)/P(H)
Esta forma especial do teorema assume que a probabilidade incondicional de H deve ser multiplicada para obter sua probabilidade condicional em E. Isto sugere que o teorema de Bayes é como um princípio de simetria simples para razões de probabilidade
Onde usar o teorema de Bayes?
Conforme afirmado acima, este teorema é usado para determinar a probabilidade condicional de um evento dado outro evento. Então, vamos pegar dois eventos como exemplo:
- A = nuvens chuvosas no céu
- B = Chove naquele dia
Então podemos determinar
- P(A) = probabilidade de haver nuvens chuvosas no céu = 0,2
- P(B) = probabilidade de chover em um dia = 0,6
- P(A | B) = probabilidade de aparecerem nuvens de chuva no céu dado que choveu naquele dia = 0,9
- P(B|A) = probabilidade de chuva em um dia em que havia nuvens no céu
Os dois acima são probabilidades condicionais. Para calcular um, você precisa conhecer o outro e as probabilidades individuais de ambos. Você pode então aplicar o teorema para obter a probabilidade condicional necessária.
Por exemplo, para calcular P(B|A), você precisa de P(A|B), P(A) e P(B). Então você pode aplicar o teorema de Bayes assim:
P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A) = 0,9 * 0,6 / 0,2 = 0,27
Isso nos mostra que a probabilidade de chuva por dia, dado que havia nuvens no céu, é de 0,27. Teorema de Bayes
Formulários. Teorema de Bayes
O teorema de Thomas Bayes pode ser aplicado a uma variedade de problemas. Pode ser usado para determinar a precisão de um teste, dado outro conjunto necessário de probabilidades.
Para determinar a probabilidade posterior, é necessária uma distribuição de probabilidade anterior. A probabilidade anterior é a probabilidade antes de qualquer novo dado ser coletado. Por outro lado, Posterior é a probabilidade revisada de que um evento aprenda novas informações.
Simplificando, a probabilidade posterior é P(A|B), que é a probabilidade de A dado que B já aconteceu antes do experimento.
Sua fórmula é usada para ver como a probabilidade de ocorrência de um evento é afetada por certas restrições e eventos que já ocorreram.
Termos de nomenclatura usados no teorema de Thomas Bayes
Os vários termos usados neste teorema estão nomeados corretamente. Aqui estão esses.
- P(A|B) = Probabilidade Posterior: Esta é a probabilidade condicional que precisamos encontrar.
- P(A) = Probabilidade Prévia: Esta é a probabilidade que tínhamos antes do experimento.
- P(B|A) = Probabilidade
- P(B) = Evidência
Assim, podemos reafirmar o teorema de Bayes como
A posteriori = Probabilidade * A priori / Evidência
Denominador/Teorema de Bayes
В a fórmula Teorema de Bayes, você pode ver que o denominador é a probabilidade marginal de um evento. Isso também é chamado de probabilidade geral de um evento, o que significa que é a probabilidade de o evento ocorrer em qualquer circunstância.
A probabilidade global de um evento é muitas vezes desconhecida; o que se sabe são as probabilidades condicionais de ocorrência desse evento, sujeitas a várias restrições.
- A probabilidade geral pode então ser determinada usando a fórmula abaixo.
P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….
Onde
E1, E2, E3 são eventos que poderiam ter acontecido no passado.
Ou você pode descobrir isso usando
P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | não B) * P (não B)
Se todas as probabilidades condicionais exigidas forem conhecidas / Teorema de Bayes
Por exemplo,
Duas bolas são retiradas de um saco contendo três bolas pretas, três vermelhas e três amarelas. Então a probabilidade de pegar a bola vermelha pela segunda vez será P (R), e pode ser encontrada fazendo o seguinte:
- P(R|R') = probabilidade de a segunda bola ficar vermelha se a primeira bola for preta ou amarela
- P(R|R) = probabilidade de a segunda bola ficar vermelha se a primeira bola for vermelha.
Então a probabilidade total de a segunda bola ficar vermelha é dada por
P(R) = P(R|R') + P(R|R)
Numericamente
P(R|R') =?
P(R | R) = ¼
Então, a probabilidade total de sair uma bola vermelha é:
P(R)=? +¼=?
Exemplos reais de exames médicos. Teorema de Bayes
Aqui damos um exemplo de como o Teorema de Bayes pode ser aplicado a cenários da vida real. Este exemplo é uma ampla área de aplicação do teorema.
Geralmente, os exames médicos para diagnosticar diversas doenças não são 100% precisos. Pode acontecer que uma pessoa sofra de alguma doença e mesmo assim o teste dê negativo. Ou pode ser que a pessoa não sofra da doença, mas o teste dê resultado positivo. – Portanto, há confusão em torno de falsos positivos, falsos negativos ou verdadeiros positivos quando você testa positivo.
Sim, parece assustador, mas o fato é que nada é 100% perfeito, nem esses testes!
Aqui, usando dados relacionados a um hipotético dispositivo de teste de HIV, temos as diversas probabilidades necessárias para determinar a precisão do dispositivo.
Teorema de Bayes
Sabemos que o dispositivo de teste às vezes dá resultados incorretos, mas precisamos descobrir se o número desses resultados incorretos é muito grande para lançar dúvidas sobre a confiabilidade do teste. Então aqui vamos descobrir a probabilidade de uma pessoa com teste positivo ser positiva ou não.
O dispositivo de teste relata corretamente 90% dos casos positivos, enquanto os 10% restantes dos casos positivos permanecem não detectados por ele. Além disso, ele pode julgar negativamente uma pessoa se ela for negativa 99% das vezes. Mas 1% das pessoas apresentam resultados positivos, mesmo que sejam prejudiciais. Sabemos também que apenas 0,1% de toda a população sofre desta doença. Agora, uma pessoa é selecionada aleatoriamente em uma grande população e o teste é positivo. Precisamos de determinar a probabilidade de uma pessoa estar infectada pelo VIH. Teorema de Bayes
Seja E o evento em que uma pessoa é infectada pelo HIV. Então E' significa que ele é HIV negativo.
Seja A o evento em que o relatório do teste é positivo.
Assim, exigimos a probabilidade de uma pessoa estar infectada com VIH, dado que recebe um resultado de teste positivo. Isso significa que precisamos encontrar P(E|A).
Agora temos as seguintes probabilidades.
1.P(E) = 0,1% = 0,001 = probabilidade de contrair HIV
2. P(E') = 0,999 = probabilidade de não sofrer de HIV
3. P(A | E) = 99% = 0,99 = probabilidade de uma pessoa ser portadora de HIV, visto que seus relatos também lhe deram diagnóstico positivo.
4. P(A|E') = 1% = 0,01 = probabilidade de uma pessoa não ter HIV, mas reportar teste positivo. Teorema de Bayes
Portanto, usando o teorema de Bayes,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}
= 0,083 (aprox.)
Portanto, a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente ter um teste positivo para o VIH é de 0,083, o que é apenas 8,3%. Isto mostra claramente que o teste é inaceitável e não deve mais ser utilizado para diagnosticar a doença.
Este cálculo das probabilidades de doenças é normalmente realizado para determinar a adequação dos dispositivos. O teorema de Bayes realmente desempenha um papel fundamental aqui. Mas esta não é a única área onde o teorema de Bayes é utilizado.
Pensamentos finais! Teorema de Bayes
O teorema de Bayes é um teorema muito comum usado em aprendizado de máquina para fazer previsões com base em dados previamente disponíveis. Também ajuda a classificar os dados em diferentes categorias, novamente usando técnicas de aprendizado de máquina.
Bem, não é usado apenas para cálculos científicos de alto nível. Também é usado para alguns estudos diferentes. Você já se perguntou como esses sites de namoro fornecem as combinações mais adequadas?
Bem, eles usam o Teorema de Bayes para determinar suas chances de combinar com aquela pessoa, visto que eles já conhecem as qualidades que você preferiu no passado!
PERGUNTAS FREQUENTES. Teorema de Bayes.
Qual é o teorema de Bayes?
O Teorema de Bayes é um princípio matemático que descreve a probabilidade condicional de um evento com base nos eventos associados a ele.
Como o teorema de Bayes é formulado?
Para dois eventos A e B, a fórmula do teorema de Bayes é expressa da seguinte forma: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), onde P(A|B ) é a probabilidade do evento A sujeito a B.
Qual é a essência da probabilidade condicional no contexto do teorema de Bayes?
A probabilidade condicional reflete a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já ocorreu ou é conhecido.
Como o Teorema de Bayes é usado nas estatísticas?
Nas estatísticas, o teorema de Bayes é usado para atualizar a probabilidade de uma hipótese quando novos dados ou informações adicionais estão disponíveis.
Quais são as probabilidades anteriores e posteriores no contexto do teorema de Bayes?
Probabilidade prévia é uma estimativa inicial da probabilidade de uma hipótese antes de levar em consideração novos dados. Probabilidade Posterior é a probabilidade atualizada após levar em consideração novas informações.
Como o Teorema de Bayes é usado no aprendizado de máquina?
No aprendizado de máquina, o teorema de Bayes é usado em métodos bayesianos, como a classificação bayesiana. Isso ajuda o modelo a atualizar suas visualizações com base em novos dados.
Qual é o significado do teorema de Bayes na tomada de decisão?
O teorema de Bayes é uma ferramenta fundamental para a tomada de decisões em condições de incerteza, quando temos alguns dados ou informações, mas não temos certeza total.
Você pode dar um exemplo de uso do teorema de Bayes na vida real?
Por exemplo, em diagnósticos médicos, onde um médico pode atualizar a probabilidade de um paciente ter uma doença com base em novos resultados de testes.
Como o teorema de Bayes difere do teorema da probabilidade especial?
O teorema de Bayes é uma forma de probabilidade condicional que descreve a probabilidade de um evento dado outro evento, enquanto o teorema da probabilidade geral descreve a probabilidade de um evento arbitrário.
Poderia haver situações em que o Teorema de Bayes não se aplica?
O teorema de Bayes pode ser limitado nos casos em que os dados são insuficientes ou quando os eventos são altamente dependentes de fatores adicionais que não estão incluídos no modelo.
