Teorema e Bayes

Teorema e Bayes është një teoremë matematikore që përshkruan probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në probabilitetin e kushtëzuar të ngjarjeve të tjera të lidhura. Teorema mori emrin e matematikanit anglez Thomas Bayes dhe luan një rol të rëndësishëm në statistikat, probabilitetin dhe mësimin e makinerive.

Për shembull, përcaktimi i probabilitetit për të nxjerrë një top të kuq për herë të dytë nga një qese që përmban tre topa të kuq dhe tre të zinj, duke qenë se topi i kuq është tërhequr dhe zëvendësuar herën e parë. Gjithashtu, shanset tuaja për të marrë një vend parkimi varen nga koha e ditës, ku parkoni, etj.

Kjo na jep një formulë mjaft të thjeshtë për llogaritjen e probabilitetit të kushtëzuar.

Për shembull

Nëse ka dy ngjarje A dhe B, dhe probabiliteti total që të dyja do të ndodhin është përkatësisht P(A) dhe P(B).

Atëherë probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A, me kusht që të ketë ndodhur edhe ngjarja B, shënohet me P (A | B).

Në përgjithësi, teorema e Bayes ju ndihmon të merrni probabilitetin real të një ngjarjeje bazuar në informacionin e dhënë të testit.

Këtu ngjarjet janë shumë të ndryshme nga analizat, për shembull kur të shkoni për një test për sëmundje të veshkave, do të jetë ndryshe nga një rast i sëmundjes së veshkave. Përveç kësaj, teste të ndryshme mund të jenë gjithashtu të meta, për shembull, nëse një person rezulton pozitiv, kjo nuk konfirmon se ai ose ajo është në të vërtetë i sëmurë.

Mund të ketë raste të rralla të testeve me norma të larta false-pozitive. Në situata të tilla, teorema e Bayes merr rezultatet e testit dhe kontrollon probabilitetin aktual nëse testi e identifikoi me saktësi ngjarjen apo jo. Le të thellohemi në botën e kësaj teoreme dhe të kuptojmë se çfarë është dhe si funksionon.

Cila është formula për teoremën e Bayes?

Formula e përdorur për të gjetur këtë probabilitet të kushtëzuar është dhënë nga teorema e Bayes, siç është përmendur tashmë.

$Teorema e Bayes$

P(A) = probabiliteti i shfaqjes së A
P(B) = probabiliteti i shfaqjes së B
P(A?B) = probabiliteti që A është dhënë B
P(B? A) = probabiliteti i B i dhënë A
P(A?B)) = probabiliteti që A dhe B të ndodhin.

Teorema e Bayes gjithashtu mund të shprehet në forma të ndryshme për qëllime specifike. Një version mjaft i popullarizuar është ai i koeficientit të rëndësisë ose raportit të probabilitetit të Rudolph Carnap (Carnap 1962, 466).

Ky është shumëzuesi PR(H,E) = PE(H)/P(H)

Kjo formë e veçantë e teoremës supozon se probabiliteti i pakushtëzuar i H duhet të shumëzohet për të marrë probabilitetin e tij të kushtëzuar me E. Kjo sugjeron që teorema e Bayes është si një parim i thjeshtë simetrie për raportet e probabilitetit

Ku të përdoret teorema e Bayes?

Siç u tha më lart, kjo teoremë përdoret për të përcaktuar probabilitetin e kushtëzuar të një ngjarjeje të dhënë një ngjarje tjetër. Pra, le të marrim dy ngjarje si shembull:

A = retë me shi në qiell
B = Bie shi atë ditë

Atëherë mund të përcaktojmë

P(A) = probabiliteti që të ketë re me shi në qiell = 0,2
P(B) = probabiliteti që të bjerë shi në një ditë = 0,6
P(A|B) = probabiliteti i shfaqjes së reve të shiut në qiell duke pasur parasysh që ra shi atë ditë = 0,9
P(B|A) = probabiliteti i shiut në një ditë kur kishte re në qiell

Dy të mësipërmet janë probabilitete të kushtëzuara. Për të llogaritur njërën prej tyre, duhet të dini tjetrën dhe probabilitetet individuale të të dyjave. Më pas mund të aplikoni teoremën për të marrë probabilitetin e kërkuar të kushtëzuar.

Për shembull, për të llogaritur P(B|A), ju nevojiten P(A|B), P(A) dhe P(B). Atëherë mund të aplikoni teoremën e Bayes si kjo:

P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A) = 0,9 * 0,6 / 0,2 = 0,27

Kjo na tregon se probabiliteti i shiut në ditë, duke qenë se kishte re në qiell, është 0,27. Teorema e Bayes

Aplikacionet. Teorema e Bayes

Teorema e Thomas Bayes mund të zbatohet për një sërë problemesh. Mund të përdoret për të përcaktuar saktësinë e një testi duke pasur parasysh një grup tjetër të kërkuar probabiliteti.

Për të përcaktuar probabilitetin e pasëm, kërkohet një shpërndarje paraprake e probabilitetit. Probabiliteti i mëparshëm është probabiliteti përpara se të mblidhet ndonjë e dhënë e re. Nga ana tjetër, posterior është probabiliteti i rishikuar që një ngjarje të mësojë informacion të ri.

E thënë thjesht, probabiliteti i pasëm është P(A|B), që është probabiliteti i A duke qenë se B ka ndodhur tashmë përpara eksperimentit.

Formula e tij përdoret për të parë se si gjasat e ndodhjes së një ngjarjeje ndikohen nga disa kufizime dhe ngjarje që kanë ndodhur tashmë.

Termat e emërtimit të përdorura në teoremën e Thomas Bayes

Termat e ndryshëm të përdorur në këtë teoremë janë emërtuar saktë. Këtu janë ato.

P(A|B) = Probabiliteti i pasëm: Ky është probabiliteti i kushtëzuar që duhet të gjejmë.
P(A) = Probabiliteti i mëparshëm: Ky është probabiliteti që kishim përpara eksperimentit.
P(B|A) = Probabiliteti
P(B) = Dëshmi

Kështu, ne mund të riparaqesim teoremën e Bayes si
A posteriori = Probabilitet * A priori / Dëshmi

Emëruesi/Teorema e Bayes

В formulë Teorema e Bayes mund të shihni se emëruesi është probabiliteti margjinal i një ngjarjeje. Kjo quhet edhe probabiliteti i përgjithshëm i një ngjarjeje, që do të thotë se është probabiliteti që ngjarja të ndodhë në çdo rrethanë.

Probabiliteti i përgjithshëm i një ngjarjeje është shpesh i panjohur; ajo që dihet janë probabilitetet e kushtëzuara që ajo ngjarje të ndodhë, duke iu nënshtruar kufizimeve të ndryshme.

Probabiliteti i përgjithshëm më pas mund të përcaktohet duke përdorur formulën e mëposhtme.

P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….

E1, E2, E3 janë ngjarje që mund të kenë ndodhur në të kaluarën.

Ose mund ta zbuloni këtë duke përdorur

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | jo B) * P (jo B)

Nëse njihen të gjitha probabilitetet e kushtëzuara të kërkuara / Teorema e Bayes

Për shembull,

Dy topa nxirren nga një qese që përmban tre topa të zinj, tre të kuq dhe tre të verdhë. Atëherë probabiliteti për të marrë topin e kuq për herë të dytë do të jetë P (R), dhe mund të gjendet duke bërë sa më poshtë:

P(R|R') = probabiliteti që topi i dytë të bëhet i kuq nëse topi i parë ishte i zi ose i verdhë
P(R|R) = probabiliteti që topi i dytë të bëhet i kuq nëse topi i parë është i kuq.

Pastaj probabiliteti total që topi i dytë të bëhet i kuq jepet me

P(R) = P(R|R') + P(R|R)

Numerikisht

P(R|R') =?

P(R | R) = ¼

Pra, probabiliteti total për të marrë një top të kuq është:

P (R) =? + ¼ =?

Shembuj të vërtetë të testeve mjekësore. Teorema e Bayes

Këtu ju japim një shembull se si teorema e Bayes mund të zbatohet në skenarët e jetës reale. Ky shembull është një fushë e përhapur e zbatimit të teoremës.

Në përgjithësi, testet mjekësore për diagnostikimin e sëmundjeve të ndryshme nuk janë 100% të sakta. Mund të ndodhë që një person vuan nga ndonjë sëmundje dhe megjithatë testi të tregojë rezultate negative. Ose mund të ndodhë që personi të mos vuajë nga sëmundja, por testi tregon rezultate pozitive. – Pra, të kesh konfuzion rreth pozitiveve të rreme, negative të rreme ose pozitive të vërteta kur testohesh pozitiv.

Po, tingëllon e frikshme, por fakti është se asgjë nuk është 100% perfekte dhe as këto teste!

Këtu, duke përdorur të dhëna që lidhen me një pajisje hipotetike të testimit të HIV-it, ne kemi probabilitete të ndryshme të nevojshme për të përcaktuar saktësinë e pajisjes.

Ne e dimë se pajisja e testimit ndonjëherë jep një rezultat të pasaktë, por duhet të zbulojmë nëse numri i rezultateve të tilla të pasakta është shumë i madh për të hedhur dyshime mbi besueshmërinë e testit? Pra, këtu do të zbulojmë probabilitetin që një person që rezulton pozitiv të jetë pozitiv apo jo.

Pajisja e testimit raporton saktë për 90% të rasteve pozitive, ndërsa 10% e mbetur e rasteve pozitive mbeten të pazbuluara prej saj. Përveç kësaj, ai mund të gjykojë negativisht një person nëse ai është negativ në 99% të rasteve. Por 1% e njerëzve rezultojnë pozitivë edhe nëse janë të dëmshëm. Dimë gjithashtu se vetëm 0,1% e të gjithë popullsisë vuan nga kjo sëmundje. Tani një person zgjidhet rastësisht nga një popullatë e madhe dhe rezulton pozitiv. Ne duhet të gjejmë probabilitetin që një person të jetë i infektuar me HIV. Teorema e Bayes

Le të jetë E ngjarja kur një person infektohet me HIV. Pra, E' do të thotë se ai është HIV negativ.

Le të jetë A ngjarja kur raporti i testit është pozitiv.

Kështu, ne kërkojmë probabilitetin që një person të jetë i infektuar me HIV duke qenë se ai merr një rezultat pozitiv të testit. Kjo do të thotë që ne duhet të gjejmë P(E|A).

Tani kemi probabilitetet e mëposhtme.

1.P(E) = 0,1% = 0,001 = probabiliteti i infektimit me HIV

2. P(E') = 0,999 = probabilitet për të mos vuajtur nga HIV

3. P(A | E) = 99% = 0,99 = probabilitet që një person vuan nga HIV, duke qenë se raportet e tij i dhanë edhe një diagnozë pozitive.

4. P(A|E') = 1% = 0,01 = probabilitet që një person nuk ka HIV, por raporton testin pozitiv. Teorema e Bayes

Prandaj, duke përdorur teoremën e Bayes,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}

= 0,083 (përafërsisht)

Prandaj, probabiliteti që një person i përzgjedhur rastësisht të dalë pozitiv për HIV është 0,083, që është vetëm 8,3%. Kjo tregon qartë se testi është i papranueshëm dhe nuk duhet të përdoret më për të diagnostikuar sëmundjen.

Kjo llogaritje e probabiliteteve të sëmundjes kryhet zakonisht për të përcaktuar përshtatshmërinë e pajisjeve. Teorema e Bayes luan vërtet një rol kyç këtu. Por kjo nuk është e vetmja zonë ku përdoret teorema e Bayes.

Mendimet e fundit! Teorema e Bayes

Teorema e Bayes është një teoremë shumë e zakonshme që përdoret në mësimin e makinerive për të bërë parashikime bazuar në të dhënat e disponueshme më parë. Ai gjithashtu ndihmon në klasifikimin e të dhënave në kategori të ndryshme, duke përdorur përsëri teknikat e mësimit të makinerive.

Epo, nuk përdoret vetëm për llogaritjet shkencore të nivelit të lartë. Përdoret gjithashtu për disa studime të ndryshme. A keni menduar ndonjëherë se si këto faqe takimesh ju ofrojnë ndeshjet më të përshtatshme?

Epo, ata përdorin teoremën e Bayes për të përcaktuar shanset tuaja për t'u përshtatur me atë person, duke qenë se ata tashmë i dinë cilësitë që ju keni preferuar në të kaluarën!

Tipografia ABC

FAQ. Teorema e Bayes.

Cila është teorema e Bayes?

Teorema e Bayes është një parim matematikor që përshkruan probabilitetin e kushtëzuar të një ngjarjeje bazuar në ngjarjet që lidhen me të.

Si formulohet teorema e Bayes?

Për dy ngjarje A dhe B, formula e teoremës së Bayes shprehet si më poshtë: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), ku P(A|B) ) është probabiliteti i ngjarjes A që i nënshtrohet B.

Cili është thelbi i probabilitetit të kushtëzuar në kontekstin e teoremës së Bayes?

Probabiliteti i kushtëzuar pasqyron probabilitetin që të ndodhë një ngjarje duke qenë se një ngjarje tjetër ka ndodhur tashmë ose dihet.

Si përdoret teorema e Bayes në statistika?

Në statistika, teorema e Bayes përdoret për të përditësuar probabilitetin e një hipoteze kur ka të dhëna të reja ose informacion shtesë.

Cilat janë probabilitetet e mëparshme dhe ato të pasme në kontekstin e teoremës së Bayes?

Probabiliteti i mëparshëm është një vlerësim fillestar i probabilitetit të një hipoteze përpara se të merren parasysh të dhënat e reja. Probabiliteti i pasëm është probabiliteti i përditësuar pas marrjes parasysh të informacionit të ri.

Si përdoret teorema e Bayes në Mësimin e Makinerisë?

Në mësimin e makinerive, teorema e Bayes përdoret në metodat Bayesian si klasifikimi Bayesian. Kjo e ndihmon modelin të përditësojë pikëpamjet e tij bazuar në të dhëna të reja.

Cila është rëndësia e teoremës së Bayes në vendimmarrje?

Teorema e Bayes është një mjet kyç për marrjen e vendimeve në kushte pasigurie, kur kemi disa të dhëna ose informacione, por jo siguri të plotë.

A mund të jepni një shembull të përdorimit të teoremës së Bayes në jetën reale?

Për shembull, në diagnostikimin mjekësor, ku një mjek mund të përditësojë probabilitetin që një pacient të ketë një sëmundje duke pasur parasysh rezultatet e reja të testit.

Si ndryshon teorema e Bayes nga teorema e probabilitetit special?

Teorema e Bayes është një formë e probabilitetit të kushtëzuar që përshkruan probabilitetin e një ngjarjeje të dhënë një ngjarje tjetër, ndërsa teorema e përgjithshme e probabilitetit përshkruan probabilitetin e një ngjarje arbitrare.

A mund të ketë situata në të cilat teorema e Bayes nuk zbatohet?

Teorema e Bayes mund të jetë e kufizuar në rastet kur të dhënat janë të pamjaftueshme, ose kur ngjarjet varen shumë nga faktorë shtesë që nuk përfshihen në model.