Teorema di Bayes: definizione, formule e applicazioni

Il teorema di Bayes è un teorema matematico che descrive la probabilità di un evento in base alla probabilità condizionata di altri eventi correlati. Il teorema prende il nome dal matematico inglese Thomas Bayes e svolge un ruolo importante nella statistica, nella probabilità e nell'apprendimento automatico.

Ad esempio, determinare la probabilità di estrarre una pallina rossa una seconda volta da un sacchetto contenente tre palline rosse e tre nere, dato che la pallina rossa è stata estratta e sostituita la prima volta. Inoltre, le tue possibilità di ottenere un parcheggio dipendono dall'ora del giorno, da dove parcheggi, ecc.

Questo ci dà una formula abbastanza semplice per calcolare la probabilità condizionata.

Per esempio

Se ci sono due eventi A e B, e la probabilità totale che si verifichino entrambi è rispettivamente P(A) e P(B).

Allora la probabilità che si verifichi l'evento A, a condizione che si verifichi anche l'evento B, è indicata con P (A | B).

In generale, il teorema di Bayes aiuta a ottenere la reale probabilità di un evento sulla base di determinate informazioni di test.

Qui gli eventi sono molto diversi dai test, ad esempio quando si fa un test per una malattia renale, sarà diverso da un caso di malattia renale. Inoltre, anche diversi test possono essere errati, ad esempio, se una persona risulta positiva, ciò non conferma che sia effettivamente malata.

Potrebbero esserci rari casi di test con tassi elevati di falsi positivi. In tali situazioni, il teorema di Bayes prende i risultati del test e controlla l'effettiva probabilità che il test abbia identificato l'evento in modo accurato o meno. Immergiamoci nel mondo di questo teorema e capiamo cos'è e come funziona.

Qual è la formula del teorema di Bayes?

La formula utilizzata per trovare questa probabilità condizionata è data dal teorema di Bayes, come già accennato.

1. P(A) = probabilità che si verifichi A
2. P(B) = probabilità che si verifichi B
3. P(A?B) = probabilità che A dato B
4. P(B? A) = probabilità di B dato A
5. P(A?B)) = probabilità che si verifichino sia A che B.

Il teorema di Bayes può anche essere espresso in forme diverse per scopi specifici. Una versione abbastanza popolare è quella del coefficiente di rilevanza o rapporto di probabilità di Rudolph Carnap (Carnap 1962, 466).

Questo è il moltiplicatore PR(H,E) = PE(H)/P(H)

Questa forma speciale del teorema presuppone che la probabilità incondizionata di H debba essere moltiplicata per ottenere la sua probabilità condizionata a E. Ciò suggerisce che il teorema di Bayes è come un semplice principio di simmetria per i rapporti di probabilità

Dove usare il teorema di Bayes?

Come affermato sopra, questo teorema viene utilizzato per determinare la probabilità condizionata di un evento dato un altro evento. Prendiamo quindi come esempio due eventi:

• A = nuvole piovose nel cielo
• B = Piove quel giorno

Quindi possiamo determinare

• P(A) = probabilità che ci siano nuvole piovose in cielo = 0,2
• P(B) = probabilità che piova in un giorno = 0,6
• P(A|B) = probabilità che compaiano nuvole di pioggia in cielo dato che quel giorno ha piovuto = 0,9
• P(B|A) = probabilità di pioggia in una giornata con nuvole in cielo

Le due precedenti sono probabilità condizionate. Per calcolarne uno, è necessario conoscere l'altro e le probabilità individuali di entrambi. È quindi possibile applicare il teorema per ottenere la probabilità condizionata richiesta.

Ad esempio, per calcolare P(B|A), sono necessari P(A|B), P(A) e P(B). Quindi puoi applicare il teorema di Bayes in questo modo:

P (B | A) = P (A | B) * P (B) / P (A)

= 0,9 * 0,6/0,2

= 0,27

Questo ci mostra che la probabilità che piova al giorno, dato che ci sono nuvole in cielo, è 0,27. Teorema di Bayes

Applicazioni. Teorema di Bayes

Il teorema di Thomas Bayes può essere applicato a una varietà di problemi. Può essere utilizzato per determinare l'accuratezza di un test dato un altro insieme di probabilità richiesto.

Per determinare la probabilità a posteriori è necessaria una distribuzione di probabilità a priori. La probabilità a priori è la probabilità prima che vengano raccolti nuovi dati. D'altra parte, Posterior è la probabilità rivista che un evento apprenda nuove informazioni.

In parole povere, la probabilità a posteriori è P(A|B), che è la probabilità di A dato che B è già accaduto prima dell'esperimento.

La sua formula viene utilizzata per vedere come la probabilità che si verifichi un evento sia influenzata da determinati vincoli ed eventi che si sono già verificati.

Termini di denominazione utilizzati nel teorema di Thomas Bayes

I vari termini usati in questo teorema sono nominati correttamente. Ecco quelli.

• P(A|B) = Probabilità posteriore: questa è la probabilità condizionata che dobbiamo trovare.
• P(A) = Probabilità a priori: questa è la probabilità che avevamo prima dell'esperimento.
• P(B|A) = Probabilità
• P(B) = Prova

Quindi possiamo riaffermare il teorema di Bayes come
A posteriori = Probabilità * A priori / Evidenza

Denominatore/Teorema di Bayes

В la formula Dal teorema di Bayes puoi vedere che il denominatore è la probabilità marginale di un evento. Questa è anche chiamata probabilità complessiva di un evento, il che significa che è la probabilità che l’evento si verifichi in qualsiasi circostanza.

La probabilità complessiva di un evento è spesso sconosciuta; ciò che è noto sono le probabilità condizionate che quell'evento si verifichi, soggette a vari vincoli.

• La probabilità complessiva può quindi essere determinata utilizzando la formula seguente.

P(LA) = P(LA | MI1) + P(LA | MI2) + P(LA | MI3)….

Где

E1, E2, E3 sono eventi che sarebbero potuti accadere nel passato.

Oppure puoi scoprirlo utilizzando

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | non B) * P (non B)

Se tutte le probabilità condizionali richieste sono note / Teorema di Bayes

Per esempio,

Si estraggono due palline da un sacchetto contenente tre palline nere, tre rosse e tre gialle. Allora la probabilità di raccogliere la pallina rossa per la seconda volta sarà P (R), e può essere trovata facendo quanto segue:

• P(R|R') = probabilità che la seconda pallina diventi rossa se la prima pallina era nera o gialla
• P(R|R) = probabilità che la seconda pallina diventi rossa se la prima pallina è rossa.

Quindi la probabilità totale che la seconda pallina diventi rossa è data da

P(R) = P(R|R') + P(R|R)

Numericamente

P(R|R') =?

P(R | R) = ¼

Quindi, la probabilità totale di ottenere una pallina rossa è:

P(R) =? +¼ =?

Esempi reali di test medici. Teorema di Bayes

Qui ti forniamo un esempio di come il Teorema di Bayes può essere applicato a scenari di vita reale. Questo esempio è un vasto ambito di applicazione del teorema.

Generalmente, i test medici per diagnosticare varie malattie non sono accurati al 100%. Può succedere che una persona soffra di qualche malattia e tuttavia il test dia risultati negativi. Oppure può darsi che la persona non soffra della malattia, ma il test mostra risultati positivi. - Quindi avere confusione tra falsi positivi, falsi negativi o veri positivi quando si risulta positivi.

Sì, sembra terrificante, ma il fatto è che nulla è perfetto al 100%, e nemmeno questi test!

Qui, utilizzando i dati relativi a un ipotetico dispositivo per il test HIV, abbiamo le varie probabilità necessarie per determinare l’accuratezza del dispositivo.

Teorema di Bayes

Sappiamo che il dispositivo di test a volte dà un risultato errato, ma dobbiamo scoprire se il numero di tali risultati errati è troppo grande per mettere in dubbio l'affidabilità del test? Quindi qui scopriremo la probabilità che una persona risultata positiva sia positiva oppure no.

Il dispositivo di test riporta correttamente il 90% dei casi positivi, mentre il restante 10% dei casi positivi non viene rilevato. Inoltre, può giudicare negativamente una persona se è negativa il 99% delle volte. Ma l’1% delle persone risulta positivo anche se sono dannose. Sappiamo anche che solo lo 0,1% dell’intera popolazione soffre di questa malattia. Ora una persona viene selezionata a caso da un’ampia popolazione e risulta positiva. Dobbiamo trovare la probabilità che una persona sia infettata dall'HIV. Teorema di Bayes

Sia E l’evento in cui una persona viene infettata dall’HIV. Quindi E' significa che è sieronegativo.

Sia A l'evento in cui il rapporto di prova è positivo.

Pertanto, richiediamo la probabilità che una persona sia infettata dall'HIV dato che riceve un risultato positivo al test. Ciò significa che dobbiamo trovare P(E|A).

Ora abbiamo le seguenti probabilità.

1.P(E) = 0,1% = 0,001 = probabilità di contrarre l'HIV

2. P(E') = 0,999 = probabilità di non soffrire di HIV

3. P(A | E) = 99% = 0,99 = probabilità che una persona sia affetta da HIV, dato che anche i suoi referti gli hanno dato una diagnosi positiva.

4. P(A|E') = 1% = 0,01 = probabilità che una persona non abbia l'HIV ma risulti positiva al test. Teorema di Bayes

Pertanto, utilizzando il teorema di Bayes,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}

= 0,083 (circa)

Pertanto, la probabilità che una persona selezionata a caso risulti positiva all'HIV è 0,083, ovvero solo dell'8,3%. Ciò dimostra chiaramente che il test è inaccettabile e non dovrebbe più essere utilizzato per diagnosticare la malattia.

Questo calcolo delle probabilità della malattia viene generalmente eseguito per determinare l'idoneità dei dispositivi. Il teorema di Bayes gioca davvero un ruolo chiave qui. Ma questo non è l'unico ambito in cui viene utilizzato il teorema di Bayes.

Pensieri finali! Teorema di Bayes

Il Teorema di Bayes è un teorema molto comune utilizzato nell'apprendimento automatico per fare previsioni basate su dati precedentemente disponibili. Aiuta anche a classificare i dati in diverse categorie, sempre utilizzando tecniche di apprendimento automatico.

Ebbene, non viene utilizzato solo per calcoli scientifici di alto livello. Viene utilizzato anche per alcuni studi diversi. Ti sei mai chiesto come questi siti di incontri ti forniscono gli abbinamenti più adatti?

Bene, usano il Teorema di Bayes per determinare le tue possibilità di abbinare quella persona, dato che conoscono già le qualità che hai preferito in passato!

 

FAQ. Teorema di Bayes.

1. Cos'è il teorema di Bayes?

   • Il Teorema di Bayes è un principio matematico che descrive la probabilità condizionata di un evento in base agli eventi ad esso associati.

2. Come si formula il teorema di Bayes?

   • Per due eventi A e B, la formula del teorema di Bayes è espressa come segue: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), dove P(A|B ) è la probabilità dell'evento A soggetto a B.

3. Qual è l'essenza della probabilità condizionata nel contesto del teorema di Bayes?

   • La probabilità condizionata riflette la probabilità che un evento si verifichi dato che un altro evento si è già verificato o è noto.

4. Come viene utilizzato il Teorema di Bayes in statistica?

   • In statistica, il teorema di Bayes viene utilizzato per aggiornare la probabilità di un'ipotesi quando sono disponibili nuovi dati o informazioni aggiuntive.

5. Cosa sono le probabilità a priori e a posteriori nel contesto del teorema di Bayes?

   • La probabilità a priori è una stima iniziale della probabilità di un'ipotesi prima di prendere in considerazione nuovi dati. La probabilità posteriore è la probabilità aggiornata dopo aver preso in considerazione le nuove informazioni.

6. Come viene utilizzato il Teorema di Bayes nel Machine Learning?

   • Nell'apprendimento automatico, il teorema di Bayes viene utilizzato nei metodi bayesiani come la classificazione bayesiana. Ciò aiuta il modello ad aggiornare le sue visualizzazioni in base ai nuovi dati.

7. Qual è il significato del teorema di Bayes nel processo decisionale?

   • Il teorema di Bayes è uno strumento chiave per prendere decisioni in condizioni di incertezza, quando disponiamo di alcuni dati o informazioni, ma non di completa certezza.

8. Puoi fare un esempio di come utilizzare il teorema di Bayes nella vita reale?

   • Ad esempio, nella diagnostica medica, dove un medico può aggiornare la probabilità che un paziente abbia una malattia sulla base dei nuovi risultati dei test.

9. In cosa differisce il teorema di Bayes dal teorema della probabilità speciale?

   • Il teorema di Bayes è una forma di probabilità condizionata che descrive la probabilità di un evento dato un altro evento, mentre il teorema generale della probabilità descrive la probabilità di un evento arbitrario.

10. Potrebbero esserci situazioni in cui il teorema di Bayes non si applica?

    • Il teorema di Bayes può essere limitato nei casi in cui i dati sono insufficienti o quando gli eventi dipendono fortemente da fattori aggiuntivi non inclusi nel modello.