Теорема Байеса — определение, формулы и приложения

Теорема Байеса — это математическая теорема, которая описывает вероятность события, основанную на условной вероятности других связанных событий. Теорема была названа в честь английского математика Томаса Байеса и играет важную роль в статистике, теории вероятности и машинном обучении.

Например, определение вероятности вытягивания красного шара во второй раз из мешка, содержащего три красных и три черных шара, при условии, что красный шар был вытянут и заменен в первый раз. Кроме того, ваши шансы получить место для парковки зависят от времени суток, места, где вы паркуетесь, и т. Д.

Это дает нам довольно простую формулу для вычисления условной вероятности.

Например

Если есть два события A и B, и общая вероятность того, что оба они произойдут, равна P (A) и P (B) соответственно.

Тогда вероятность наступления события A при условии, что событие B также произошло, обозначается P (A | B).

В общем, теорема Байеса помогает вам получить реальную вероятность события, основанную на данной информации о тестах.

Здесь события сильно отличаются от тестов, например, когда вы идете на тест на заболевание почек, он будет отличаться от случая заболевания почек. Кроме того, разные тесты также могут быть ошибочными, например, если человек дал положительный тест, он не подтверждает, что он или она действительно болен.

Могут быть редкие случаи тестов с высоким уровнем ложноположительных результатов. В таких ситуациях теорема Байеса берет результаты теста и проверяет реальную вероятность того, что тест определил событие точно или нет. Давайте углубимся в мир этой теоремы и поймем, что это такое и как работает.

Какова формула теоремы Байеса?

Формула, используемая для нахождения этой условной вероятности, дается теоремой Байеса, как уже упоминалось.

1. P (A) = вероятность возникновения A
2. P (B) = вероятность появления B
3. P (A? B) = вероятность того, что A с учетом B
4. P (B? A) = вероятность B при A
5. P (A? B)) = вероятность появления как A, так и B.

Теорема Байеса также может быть выражена в различных формах для конкретных целей. Одна из довольно популярных версий связана с коэффициентом релевантности или отношением вероятностей Рудольфа Карнапа (Carnap 1962, 466).

Это множитель PR (H, E) = PE (H) / P (H)

В этой специальной форме теоремы предполагается, что безусловная вероятность H должна быть умножена, чтобы получить ее вероятность, обусловленную E. Это предполагает, что теорема Байеса подобна простому принципу симметрии для отношений вероятностей

Где использовать теорему Байеса?

Как указано выше, эта теорема используется для определения условной вероятности события при другом событии. Итак, возьмем в качестве примера два события:

• A = дождливые облака в небе
• B = В тот день идет дождь

Тогда мы можем определить

• P (A) = вероятность того, что в небе дождливые облака = 0,2
• P (B) = вероятность того, что в день идет дождь = 0,6
• P (A | B) = вероятность появления дождевых облаков в небе с учетом того, что в тот день шел дождь = 0,9
• P (B | A) = вероятность дождя в день, когда в небе были облака

Вышеупомянутые два являются условными вероятностями. Чтобы вычислить одно из них, вам нужно знать другое и индивидуальные вероятности обоих. Затем вы можете применить теорему, чтобы получить требуемую условную вероятность.

Например, чтобы вычислить P (B | A), вам нужны P (A | B), P (A) и P (B). Затем вы можете применить теорему Байеса следующим образом:

Р (В | А) = Р (А | В) * Р (В) / Р (А)

= 0,9 * 0,6 / 0,2

= 0,27

Это показывает нам, что вероятность дождя в день, учитывая, что в небе были облака, составляет 0,27. Теорема Байеса

Приложения. Теорема Байеса

Теорема Томаса Байеса может применяться к различным задачам. Его можно использовать для определения точности теста с учетом другого необходимого набора вероятностей.

Для определения апостериорной вероятности требуется априорное распределение вероятностей. Априорная вероятность — это вероятность до того, как будут собраны какие-либо новые данные. С другой стороны, Posterior — это пересмотренная вероятность того, что событие узнает новую информацию.

Проще говоря, апостериорная вероятность равна P (A | B), то есть вероятность A при условии, что B уже произошло до эксперимента.

Его формула используется, чтобы увидеть, как на вероятность наступления события влияют определенные ограничения и события, которые уже произошли.

Именование терминов, используемых в теореме Томаса Байеса

Различные термины, используемые в этой теореме, названы правильно. Вот те.

• P (A | B) = Апостериорная вероятность: это условная вероятность, которую нам нужно найти.
• P (A) = априорная вероятность: это вероятность, которая была у нас до эксперимента.
• P (B | A) = Вероятность
• P (B) = Доказательства

Таким образом, мы можем переформулировать теорему Байеса в виде
Апостериор = Вероятность * Априор / Доказательства

Знаменатель/ Теорема Байеса

В формуле теоремы Байеса вы можете видеть, что знаменатель — это предельная вероятность события. Это также называется общей вероятностью события, что означает, что это вероятность того, что это событие произойдет при любых обстоятельствах.

Общая вероятность события часто неизвестна; что известно, так это условные вероятности того, что это событие произойдет с учетом различных ограничений.

• Затем общую вероятность можно определить с помощью формулы, приведенной ниже.

P (A) = P (A | E1) + P (A | E2) + P (A | E3)….

Где

E1, E2, E3 — это события, которые могли произойти в прошлом.

Или это можно узнать с помощью

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | не B) * P (не B)

Если известны все требуемые условные вероятности/ Теорема Байеса

Например,

Два шара вытягиваются из мешка, содержащего три черных, три красных и три желтых шара. Тогда вероятность подобрать красный шар во второй раз будет P (R), и ее можно будет узнать, выполнив следующие действия:

• P (R | R ‘) = вероятность того, что второй шар станет красным, если первый шар был черным или желтым
• P (R | R) = вероятность того, что второй шар станет красным, если первый шар красный.

Тогда общая вероятность того, что второй шар станет красным, определяется как

P (R) = P (R | R ‘) + P (R | R)

Численно

P (R | R ‘) =?

P (R | R) = ¼

Итак, общая вероятность выпадения красного шара равна:

P (R) =? + ¼ =?

Реальные примеры медицинских тестов. Теорема Байеса

Здесь мы даем вам пример того, как теорему Байеса можно применить к реальным сценариям. Данный пример является широко распространенной областью применения теоремы.

Как правило, медицинские тесты для диагностики различных заболеваний не точны на 100%. Может случиться так, что человек страдает какой-либо болезнью, и все же тест показывает результаты отрицательно. Или может случиться так, что человек не страдает болезнью, но тест показывает положительные результаты . — Значит , имеющие путаницы вокруг ложных положительных, ложный отрицательный результат , или истинный позитив , когда вы дали положительный тест.

Да, это звучит ужасающе, но факт, что ничто не является идеальным на 100%, как и эти тесты!

Здесь, используя данные, относящиеся к гипотетическому устройству для тестирования на ВИЧ, у нас есть различные вероятности, необходимые для определения точности устройства.

Теорема Байеса

Мы знаем, что испытательное устройство иногда дает неправильный результат, но нам нужно выяснить, очень ли велико количество таких неправильных результатов, чтобы поставить под сомнение надежность теста? Итак, здесь мы будем выяснять вероятность того, что человек с положительным результатом положительный или нет.

Тестирующее устройство правильно выдает отчеты для 90% положительных случаев, в то время как остальные 10% положительных случаев остаются для него незамеченными. Кроме того, он может отрицательно судить о человеке, если он в 99% случаев отрицателен. Но 1% людей дает положительный результат, даже если они вредны. Мы также знаем, что только 0,1% всего населения страдает этим заболеванием. Теперь человек выбирается случайным образом из большой популяции, и его тест дает положительный результат. Нам нужно найти вероятность того, что человек окажется ВИЧ-инфицированным. Теорема Байеса

Пусть E будет событием, когда человек окажется ВИЧ-инфицированным. Таким образом, E ‘означает, что он ВИЧ-отрицательный.

Пусть A будет событием, когда отчет об испытании окажется положительным.

Таким образом, мы требуем вероятность того, что человек инфицирован ВИЧ, при условии, что он получил положительный результат теста. Это означает, что нам нужно найти P (E | A).

Теперь у нас есть следующие вероятности.

1.P (E) = 0,1% = 0,001 = вероятность заражения ВИЧ

2. P (E ‘) = 0,999 = вероятность не страдать от ВИЧ

3. P (A | E) = 99% = 0,99 = вероятность того, что человек страдает ВИЧ, учитывая, что его отчеты также поставили ему положительный диагноз.

4. P (A | E ‘) = 1% = 0,01 = вероятность того, что человек не болеет ВИЧ, но сообщает о положительном результате тестирования. Теорема Байеса

Следовательно, используя теорему Байеса,
P (E | A) = {P (E) P (A | E)} / {P (E) P (A | E) + P (E) P (A | E)}

= 0,083 (приблизительно)

Таким образом, вероятность того, что человек, выбранный случайным образом и получивший положительный результат теста на ВИЧ, составляет 0,083, что составляет всего 8,3%. Это ясно показывает, что тест неприемлем и его необходимо прекратить использовать для диагностики заболевания.

Такой расчет вероятностей, связанных с заболеваниями, обычно проводится для определения пригодности устройств. Теорема Байеса действительно играет здесь ключевую роль. Но это не единственная область, где используется теорема Байеса.

Последние мысли! Теорема Байеса

Теорема Байеса — очень распространенная теорема, используемая в машинном обучении для прогнозирования на основе ранее имеющихся данных. Это также помогает классифицировать данные по различным категориям, опять же с помощью методов машинного обучения.

Что ж, он используется не только для научных расчетов высокого уровня. Он также используется для некоторых различных исследований. Вы когда-нибудь задумывались, как эти сайты знакомств предоставляют вам наиболее подходящие совпадения?

Что ж, они используют теорему Байеса, чтобы определить ваши шансы на совпадение с этим человеком, учитывая, что они уже знают качества, которые вы предпочитали в прошлом!

 

Часто задаваемые вопросы. Теорема Байеса.

1. Что такое теорема Байеса?

   • Теорема Байеса — это математический принцип, описывающий условную вероятность события, основываясь на связанных с ним событиях.

2. Как формулируется теорема Байеса?

   • Для двух событий A и B формула теоремы Байеса выражается следующим образом: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B), где P(A|B) — вероятность события A при условии B.

3. В чем суть условной вероятности в контексте теоремы Байеса?

   • Условная вероятность отражает вероятность наступления события, учитывая, что другое событие уже произошло или известно.

4. Как теорема Байеса используется в статистике?

   • В статистике теорема Байеса применяется для обновления вероятности гипотезы при наличии новых данных или дополнительной информации.

5. Что такое априорная и апостериорная вероятности в контексте теоремы Байеса?

   • Априорная вероятность (Prior Probability) — это начальная оценка вероятности гипотезы до учета новых данных. Апостериорная вероятность (Posterior Probability) — это обновленная вероятность после учета новой информации.

6. Как теорема Байеса используется в машинном обучении?

   • В машинном обучении теорема Байеса используется в байесовских методах, таких как байесовская классификация. Это помогает модели обновлять свои представления, основываясь на новых данных.

7. Каково значение теоремы Байеса в области принятия решений?

   • Теорема Байеса является ключевым инструментом для принятия решений в условиях неопределенности, когда у нас есть некоторые данные или информация, но не полная уверенность.

8. Можете ли привести пример использования теоремы Байеса в реальной жизни?

   • Например, в медицинской диагностике, где врач может обновлять вероятность наличия болезни у пациента, учитывая новые тестовые результаты.

9. Чем теорема Байеса отличается от частной теоремы вероятности?

   • Теорема Байеса — это форма условной вероятности, которая описывает вероятность события при условии другого события, в то время как общая теорема вероятности описывает вероятность произвольного события.

10. Могут ли быть ситуации, в которых теорема Байеса не применима?

    • Теорема Байеса может быть ограничена в случаях, когда данные недостаточны, или когда события сильно зависят от дополнительных факторов, которые не учтены в модели.